Завдання 27
Розв’яжіть нерівність $$\frac{4}{x+3}+\frac{6}{x}\geqslant1.$$
У відповіді запишіть суму всіх цілих її розв’язків.
Рішення
Перенесемо все в ліву частину і приведемо до спільного знаменника.
$$\frac{4}{x+3}+\frac{6}{x}-1\geqslant0$$
$$\frac{4x+6(x+3)-x(x+3)}{x(x+3)}\geqslant 0$$
Розкриємо дужки в чисельнику і наведемо подібні доданки
$$\frac{4x+6x+18-x^2-3x}{x(x+3)}\geqslant 0$$
$$\frac{-x^2+7x+18}{x(x+3)}\geqslant 0$$
Розглянемо многочлен $$-x^2+7x+18$$ і знайдемо його корені
$$-x^2+7x+18=0$$ – квадратне рівняння
За теоремою Вієта $$x_1=-2, x_2=9$$
Значить за формулою розкладання $$-x^2+7x+18=-1(x+2)(x-9)$$
Повернемося до нерівності
$$\frac{-1(x+2)(x-9)}{x(x+3)}\geqslant 0$$
Домножимо обидві частини нерівності на $$-1$$ при цьому змінивши знак нерівності на протилежний
$$\frac{(x+2)(x-9)}{x(x+3)}\leqslant 0$$
Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів
$$x\in(-3;-2]\cup(0;9]$$
$$-2+1+2+3+4+5+6+7+8+9=-2+\frac{1+9}{2}\cdot9=-2+45=43$$ (скористалися сумою перших дев’яти членів арифметичної прогресії 1; 2; 3; …)
Відповідь: 43.