Арифметична прогресія

Арифметична прогресія – послідовність чисел, кожен член якої, починаючи з другого, є сумою попереднього члена і деякого постійного числа, званого кроком або різницею арифметичної прогресії.

$$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n},\ldots$$ – арифметична прогресія.

$$a_1$$ – перший член арифметичної прогресії, $$d$$ – різниця прогресії, $$a_n$$ – загальний ($$n$$-тий) член арифметичної прогресії, $$S_n$$ – сума $$n$$ перших членів арифметичної прогресії.

$$d=a_{2}-a_{1}=\ldots=a_{n}-a_{n-1}=\ldots$$

$$a_{n}=a_{1}+d\cdot (n-1)$$

$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, n\geqslant 2$$

$$a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=\ldots$$

$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$$

$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

$$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$

Геометрична прогресія

Геометрична прогресія – послідовність чисел, кожен член якої, починаючи з другого, є добутком попереднього члена і деякого постійного числа, що називається знаменником геометричної прогресії. Перший член і знаменник геометричної прогресії не дорівнюють нулю.

$$b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n},\ldots$$ – геометрична прогресія.

$$b_1$$ – перший член геометричної прогресії, $$q$$ – знаменник прогресії, $$b_n$$ – загальний ($$n$$- й) член геометричної прогресії, $$S_n$$ – сума $$n$$ перших членів геометричної прогресії.

$$q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\ldots=\frac{b_{n}}{b_{n-1}}=\ldots, b_{1}\neq0$$

$$b_{n}=b_{1}q^{n-1}$$

$$|b_{n}|=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}, n\geqslant 2$$

$$b_{1}b_{n}=b_{2}b_{n-1}=\ldots$$

$$S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots b_{n}$$

$$S_{n}=\left\{\begin{matrix} \frac{b_{1}(q^n-1)}{q-1} ,&q>1 \\ \frac{b_{1}(1-q^n)}{1-q},&q<1\\ nb_{1},&q=1 \end{matrix}\right.$$

Нескінченна спадна геометрична прогресія

Нескінченна спадна геометрична прогресія – геометрична прогресія зі знаменником, абсолютна величина якого менше одиниці.

$$|q|<1,\; b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n},\ldots$$  – нескінченно спадна геометрична прогресія.

$$S$$ – сума нескінченно спадної геометричної прогресії.
$$S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots b_{n},\; S=\lim\limits_{n \to \infty }S_{n}$$

$$S=\frac{b_{1}}{1-q}$$