ЗНО 2013 з математики (II сесія) [завдання 16]. Розв’язок

Завдання 16

У трикутнику $$ABC$$ точка $$M$$ – середина сторони $$BC,$$ $$AC=24$$ см (див. рисунок). Знайдіть відстань $$d$$ від точки $$M$$ до сторони $$AC,$$ якщо площа трикутника $$ABC$$ дорівнює 96 см2.

А. 2 см

Б. 3 см

В. 4 см

Г. 6 см

Д. 8 см

Рішення

Площу трикутника можна обчислити за формулою $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot H_{AC},$$ де $$H_{AC}=H$$ – висота до сторони $$AC.$$ Знайдемо її

$$H=\frac{2\cdot S_{ABC}}{AC}=\frac{2\cdot96}{24}=8$$ см

За теоремою Фалеса $$H$$ та $$d$$ відсікають пропорційні відрізки. Отримуємо подібні трикутники (див. рисунок).

Значить $$\frac{H}{d}=\frac{BC}{MC}$$ або $$\frac{8}{d}=\frac{2MC}{MC}$$

Тоді $$d=4$$ см.

Відповідь: В.