Пробне ЗНО 2013 з математики [завдання 24]. Розв’язок

Завдання 24

Установіть відповідність між многокутником і радіусом кола, вписаного в цей многокутник.

Многокутник:
1. рівносторонній трикутник зі стороною $$3\sqrt{3}$$ см
2. квадрат зі стороною 2 см
3. прямокутний трикутник із катетами 6 см і 8 см
4. правильний шестикутник зі стороною 2 см

Радіус:
А) 1 см
Б) 1.5 см
В) $$\sqrt{3}$$ см
Г) 2 см
Д) 4 см

Рішення

Для 1, 2 і 4 багатокутника згадаємо формулу радіуса вписаного кола в правильний $$n$$-кутник

$$r=\frac{a_n}{2\text{tg}\,\frac{180^{\circ}}{n}},$$

де $$a_n$$ – довжина сторони правильного $$n$$-кутника.

1. Рівносторонній трикутник зі стороною $$a_3=3\sqrt{3}$$ см.

$$r=\frac{3\sqrt{3}}{2\text{tg}\,\frac{180^{\circ}}{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\text{tg}\,60^{\circ}}=$$

скористаємося таблицею значень тригонометричних функцій для деяких кутів

$$=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{2}=1.5$$ (см)

Отримали відповідність 1 – Б.

2. Квадрат зі стороною $$a_4=2$$ см.

$$r=\frac{2}{2\text{tg}\,\frac{180^{\circ}}{4}}=\frac{1}{\text{tg}\,45^{\circ}}=1$$ (см)

Отримали відповідність 2 – А.

4. Правильний шестикутник зі стороною $$a_6=2$$ см.

$$r=\frac{2}{2\text{tg}\,\frac{180^{\circ}}{6}}=\frac{1}{\text{tg}\,30^{\circ}}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$$ (см)

Отримали відповідність 4 – В.

Для 3-го многокутника згадаємо формулу радіуса вписаного кола в прямокутний трикутник із катетами $$a,\; b$$ і гіпотенузою $$c$$

$$r=\frac{a+b-c}{2}$$

3. Прямокутний трикутник із катетами $$a=6$$ см та $$b=8$$ см.

За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу
$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$ (см)

Тоді $$r=\frac{6+8-10}{2}=2$$ (см)

Отримали відповідність 3 – Г.