Пробне ЗНО 2013 з математики [завдання 23]. Розв’язок

Завдання 23

У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед $$ABCDA_1B_1C_1D_1,$$ ребра $$AB, BC, BB_1$$ якого лежать на координатних осях (див. рисунок). Вершина $$D_1(4;8;12)$$ має координати $$(4;8;12).$$ До кожного початку речення доберіть його закінчення так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення:
1. Точка $$K(0;0;12)$$
2. Точка $$M(1;8;0)$$
3. Точка $$P(4;4;4)$$
4. Точка $$Q(0;4;6)$$

Закінчення речення:
А. належить грані $$AA_1D_1D.$$
Б. належить ребру $$CD.$$
В. належить діагоналі $$AC_1.$$
Г. належить діагоналі $$BC_1.$$
Д. збігається з точкою $$B_1.$$

Рішення

1. Точка $$K(0;0;12)$$ лежить на осі $$OZ$$ (оскільки $$x=0,\;y=0,\; z=12$$). Вона збігається з точкою $$B_1$$ (проєкція точки $$D_1(4;8;12)$$ на ось $$OZ$$).

Отримали відповідність 1 – Д.

2. Точка $$M(1;8;0)$$ лежить у площині $$XOY$$ ($$z=0$$). Оскільки $$x=1<4, \; y=8$$, то $$M(1;8;0)$$ лежить між точками $$C(0;8;0)$$ та $$D(4;8;0)$$, тобто на ребрі $$CD.$$

Отримали відповідність 2 – Б.

3. Точка $$P(4;4;4)$$ належить грані $$AA_1D_1D$$, тобто $$x=4,\; y=4<8,\; z=4<12$$ [лежить між точками $$A(4;0;0)$$, $$A_1(4;0;12),$$ $$D_1(4;8;12)$$ та $$D(4;8;0)$$].

Отримали відповідність 3 – А.

4. Точка $$Q(0;4;6)$$ лежить у площині $$YOZ$$ ($$x=0$$). Оскільки $$y=4<8,\; z=6<12$$, то $$Q(0;4;6)$$ лежить між точками $$B(0;0;0),$$ $$B_1(0;0;12),$$ $$C_1(0;8;12)$$ та $$C(0;8;0),$$ тобто належить грані $$BB_1C_1C.$$

Перевіримо, чи належить точка $$Q(0;4;6)$$ діагоналі $$BC_1.$$ Знайдемо рівняння прямої $$BC_1$$ (рівняння прямої через 2 фіксовані точки)

$$\frac{y-0}{8-0}=\frac{z-0}{12-0}\Rightarrow 8z=12y\Rightarrow z=\frac{3}{2}y$$ (скористалися властивістю пропорції).

Підставимо координати точки $$Q(0;4;6)$$ в отримане рівняння: $$6=\frac{3}{2}\cdot4\Rightarrow 6=6$$ – вірно, значить $$Q(0;4;6)$$ належить діагоналі $$BC_1.$$

Отримали відповідність 4 – Г.