ЗНО 2013 з математики (I сесія) [завдання 32]. Розв’язок

Завдання 32

Основою піраміди $$SABCD$$ є трапеція $$ABCD$$ $$(AD\parallel BC),$$ довжина середньої лінії якої дорівнює 5 см. Бічне ребро $$SB$$ перпендикулярне до площини основи піраміди та вдвічі більше від середньої лінії трапеції $$ABCD.$$

Знайдіть відстань від середини ребра $$SD$$ до площини $$SBC$$ (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює 240 см3.

Рішення

$$ABCD$$ – трапеція, площа якої обчислюється за формулою $$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot DE,$$

де

$$\frac{AD+BC}{2}=5$$ см – середня лінія,

$$DE$$ – висота трапеції $$ABCD.$$

Значить $$S_{ABCD}=5DE.$$

$$SABCD$$ – піраміда, об’єм якої обчислюється за формулою $$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{OCH}\cdot H,$$

де

$$S_{OCH}=S_{ABCD}$$ – площа основи піраміди,

$$H=SB=2\cdot5=10$$ см – висота піраміди.

Отже, $$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SB.$$

Оскільки об’єм піраміди дорівнює 240 см3, то $$240=\frac{1}{3}\cdot5\cdot DE\cdot10\Rightarrow DE=\frac{240\cdot3}{50}=\frac{72}{5}$$ см.

Точка $$D_1$$ – середина ребра $$SD.$$ Для знаходження відстані від точки $$D_1$$ до площини $$SBC,$$ проведемо через $$D_1$$ переріз, паралельний до площини основи (див. рисунок).

У перерізі отримаємо трапецію $$A_1B_1C_1D_1,$$ подібну до трапеції $$ABCD$$ (з побудови).

За властивістю подібності $$\frac{DE}{D_1E_1}=\frac{2}{1}\Rightarrow D_1E_1=\frac{DE}{2}=\frac{72}{5\cdot2}=7.2$$ см.

Відповідь: 7.2.