Пробне ЗНО 2013 з математики [завдання 32]. Розв’язок

Завдання 32

Основою прямої призми $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ є ромб $$ABCD,$$ у якому більша діагональ $$AC=17$$ см. Об’єм призми дорівнює 1020 см3. Через діагональ $$AC$$ та вершину $$B_1$$ тупого кута верхньої основи призми проведено площину, яка утворює з площиною основи кут $$\alpha.$$ Знайдіть площу утвореного перерізу призми (у см2), якщо $$\text{tg}\,\alpha=2.4.$$

Рішення

У перерізі ми отримали трикутник $$AB_1C.$$ Згадаймо формулу площі трикутника \(S_{\triangle}= \frac{1}{2}a\cdot h_a.\)

У нашому випадку \(a\) – відома діагональ ромба \(AC,\) а \(h_a = B_1E,\) т.е. $$S_{AB_1C}=\frac{1}{2}AC\cdot B_1E.$$

Об’єм призми обчислюється за формулою \(V = S\cdot H,\) де \(S \) – площа основи, \( H\) – висота призми.

Оскільки призма пряма, то \( H = AA_1=BB_1=CC_1=DD_1.\) За умовою основою призми є ромб, тоді площа основи обчислюється за формулою \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC\cdot BD.\)

Отже об’єм призми можна знайти за формулою $$V =\frac{1}{2}AC\cdot BD \cdot BB_1.$$

$$BB_1$$ знайдемо з прямокутного трикутника \( BB_1E:\)

$$BB_1=BE\cdot\text{tg}\alpha,$$ $$\text{tg}\alpha = 2.4,$$ $$BE=\frac{1}{2}BD$$ => $$BB_1 = \frac{1}{2}BD\cdot2.4=1.2\cdot BD.$$

Підставимо $$BB_1$$ в формулу об’єму призми $$V=\frac{1}{2}AC\cdot BD \cdot1.2\cdot BD=0.6\cdot AC\cdot BD^2.$$

Оскільки об’єм призми дорівнює 1020 см3, $$AC=17$$ см, то $$BD^2=\frac{1020}{0.6\cdot17}=100$$ см2.

Тоді $$BD=10$$ см => $$BE=5$$ см та $$BB_1=12$$ см.

Знайдемо $$B_1E$$ за теоремою Піфагора: $$B_1E=\sqrt{BB_1^2+BE^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$$ см.

$$S_{AB_1C}=\frac{1}{2}\cdot17\cdot13=110.5$$ см2.

Відповідь: 110.5.