Завдання. Знайти усі значення параметра, за яких усі корені рівняння додатні

Завдання

Знайдіть усі значення параметра $$p$$, за яких усі корені рівняння
$$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ додатні.

Рішення

1) $$p=3$$

$$-6x+18=0$$

$$x=3 > 0$$

2) $$p\neq 3$$

Розділимо на $$p-3$$

$$x^2-\frac{2p}{p-3}\cdot x+\frac{6p}{p-3}=0$$

Виділимо повний квадрат у многочлені $$x^2-\frac{2p}{p-3}\cdot x+\frac{6p}{p-3}$$

$$[x^2-2\cdot\frac{p}{p-3}\cdot x+(\frac{p}{p-3})^2]-(\frac{p}{p-3})^2+\frac{6p}{p-3}=$$

$$=(x-\frac{p}{p-3})^2-(\frac{p}{p-3})^2+\frac{6p}{p-3}=(x-\frac{p}{p-3})^2+\frac{-p^2+6p^2-18p}{(p-3)^2}=$$

$$=(x-\frac{p}{p-3})^2+\frac{5p^2-18p}{(p-3)^2}$$

$$(x-\frac{p}{p-3})^2+\frac{5p^2-18p}{(p-3)^2}$$ – парабола, гілки якої спрямовані вгору, $$x_{\text{вершини}}=\frac{p}{p-3}$$, $$y_{\text{вершини}}=\frac{5p^2-18p}{(p-3)^2}$$.

Корені будуть позитивними, коли $$x_{\text{вершини}} > 0$$, $$y_{\text{вершини}} \leqslant 0$$ (парабола в правій півплощині, а точніше – вершина в IV чверті або на осі $$OX$$)

Розв’яжемо ці нерівності

$$\frac{p}{p-3} > 0$$

Розв’язуючи методом інтервалів, отримаємо $$p\in(-\infty;0)\cup(3;\infty)$$

$$\frac{5p^2-18p}{(p-3)^2} \leqslant 0$$

$$\frac{5p(p-\frac{18}{5})}{(p-3)^2}\leqslant 0$$

Помножимо на $$(p-3)^3 > 0$$ і розділимо на $$5 > 0$$

Отримаємо еквівалентну нерівність

$$p(p-\frac{18}{5}) \leqslant 0$$

Розв’язуючи її методом інтервалів, отримаємо $$p\in[0;3)\cup(3;3.6]$$

Перетинаючи $$p\in(-\infty;0)\cup(3;\infty)$$ та $$p\in[0;3)\cup(3;3.6]$$, отримаємо $$p\in(3;3.6]$$

Знайдемо корені рівняння $$x^2-\frac{2p}{p-3}\cdot x+\frac{6p}{p-3}=0$$ і перевіримо їхню позитивність

$$D_1=(\frac{p}{p-3})^2-\frac{6p}{p-3}=\frac{-5p^2+18p}{(p-3)^2}$$

Корені існують при $$D_1 \geqslant 0$$, що збігається з умовою $$y_{\text{вершини}} \leqslant 0$$, а значить корені існують при $$p\in(3;3.6]$$

$$x_{1,2}=\frac{p\pm\sqrt{18p-5p^2}}{p-3}$$

Очевидно, що при $$p\in(3;3.6]$$ $$0\leqslant\sqrt{5p(3.6-p)} < 3$$ Тоді $$\frac{p-\sqrt{18p-5p^2}}{p-3} > 0$$ та $$\frac{p+\sqrt{18p-5p^2}}{p-3} > 0$$

3) Отже, отримали, що корені рівняння $$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ позитивні при $$p\in[3;3.6]$$

Відповідь: $$p\in[3;3.6]$$