Завдання. Знайти значення виразу. Використовуйте властивості ступенів, суму геометричної прогресії та формули скороченого множення

Завдання

Знайти значення виразу

$$\frac{x^{3333}+x^{333}+x^{33}+x^3+1996}{x^2+x}$$, якщо $$x^2+x+1=0$$.

Рішення

$$\frac{x^{3333}+x^{333}+x^{33}+x^3+1996}{x^2+x}=$$

перетворимо ступені

$$=\frac{x^{3\cdot1111}+x^{3\cdot111}+x^{3\cdot11}+x^3+1996}{x^2+x}=$$

віднімемо і додамо одиниці

$$=\frac{x^{3\cdot1111}-1+1+x^{3\cdot111}-1+1+x^{3\cdot11}-1+1+x^3-1+1+1996}{x^2+x}=$$

згрупуємо

$$=\frac{\left (x^{3\cdot1111}-1 \right )+\left (x^{3\cdot111}-1 \right )+\left (x^{3\cdot11}-1 \right )+\left (x^3-1 \right )+2000}{x^2+x}$$.

Розглянемо геометричну прогресію: $$1;x^3;x^6;x^9;\cdots;x^{3n-3};x^{3n};x^{3n+3}\cdots$$

з першим членом $$b_1=1$$, знаменником $$q=x^3$$ і n-м членом $$b_n=x^{3(n-1)}$$.

Згадаймо формулу суми n перших членів геометричної прогресії $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$

Тоді

$$S_{11}=\frac{1\left [\left (x^{3} \right )^{11}-1 \right ]}{x^3-1}=\frac{x^{3\cdot11}-1}{x^3-1}\Rightarrow x^{3\cdot11}-1=S_{11}\cdot(x^3-1)$$

$$S_{111}=\frac{1\left [\left (x^{3} \right )^{111}-1 \right ]}{x^3-1}=\frac{x^{3\cdot111}-1}{x^3-1}\Rightarrow x^{3\cdot111}-1=S_{111}\cdot(x^3-1)$$

$$S_{1111}=\frac{1\left [\left (x^{3} \right )^{1111}-1 \right ]}{x^3-1}=\frac{x^{3\cdot1111}-1}{x^3-1}\Rightarrow x^{3\cdot1111}-1=S_{1111}\cdot(x^3-1)$$

Підставимо в шуканий вираз

$$\frac{\left (x^{3\cdot1111}-1 \right )+\left (x^{3\cdot111}-1 \right )+\left (x^{3\cdot11}-1 \right )+\left (x^3-1 \right )+2000}{x^2+x}=$$

$$=\frac{S_{1111}\cdot(x^3-1)+S_{111}\cdot(x^3-1)+S_{11}\cdot(x^3-1)+(x^3-1)+2000}{x^2+x}=$$

$$=\frac{(x^3-1)(S_{1111}+S_{111}+S_{11}+1)+2000}{x^2+x}=$$

Згадаймо формулу різниці кубів

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

Через те, що $$x^2+x+1=0$$, то $$x^3-1=0$$ та $$x^2+x=-1$$. Тоді вихідний вираз набуде вигляду

$$=\frac{0\cdot(S_{1111}+S_{111}+S_{11}+1)+2000}{-1}=-2000$$

Відповідь: $$-2000$$.