ЗНО 2013 з математики (II сесія) [завдання 30]. Розв’язок

Завдання 30

Обчислити площу фігури, обмеженої графіком функції $$y=\frac{22}{3}-(x+1)^2$$
та прямими $$y=\frac{x}{3}, x=-1$$ й $$x=1.$$

Рішення

Для знаходження площі такої фігури (див. рисунок) необхідно обчислити інтеграл
$$\int\limits_{-1}^{1}(\frac{22}{3}-(x+1)^2-\frac{x}{3})dx=$$

Повторіть матеріали за темою Інтегрування

$$=\frac{22}{3}\int\limits_{-1}^{1}dx-\int\limits_{-1}^{1}(x+1)^2d(x+1)-\frac{1}{3}\int\limits_{-1}^{1}xdx=$$

$$=[\frac{22}{3}x-\frac{(x+1)^3}{3}-\frac{x^2}{2}]|_{-1}^{1}=$$

$$=(\frac{22}{3}-\frac{8}{3}-\frac{1}{2})-(-\frac{22}{3}-0-\frac{1}{2})=\frac{22+22-8}{3}=\frac{36}{3}=12$$

Відповідь: 12.