Завдання 28

Знайти найбільше значення функції $$y=\frac{(1-2\cos x)^4}{2}.$$

Рішення

Використаємо властивості косинусоїди. Областю значень косинуса є відрізок [−1; 1].

$$-1\leqslant\cos x\leqslant 1$$

Помножимо подвійну нерівність на $$-2<0,$$ змінивши при цьому знаки нерівності на протилежні. Запишемо подвійну нерівність у звичному вигляді (менше ліворуч, більше праворуч).

$$-2\leqslant -2\cos x\leqslant 2$$

Додамо 1

$$-1\leqslant 1-2\cos x\leqslant 3$$

Перед зведенням у четвертий ступінь пригадаємо такі твердження:

Перше

Нерівності $$f (x) > g (x)$$ та $$(f (x))^{2m}> (g (x))^{2m},$$ де $$m\in\mathbb{N},$$ рівносильні на тій множині $$M,$$ де $$f(x)\geqslant 0$$ й $$g(x) \geqslant 0.$$

Друге

Нерівність, обидві частини якої додатні, можна піднести до будь-якого натурального ступеня.

Зведемо в 4-й ступінь

$$0\leqslant (1-2\cos x)^4\leqslant 81$$

Розділимо на $$2>0,$$ залишивши при цьому знаки нерівності незмінними

$$0\leqslant \frac{(1-2\cos x)^4}{2}\leqslant 40.5$$

Отже, найбільше значення функції $$y$$ дорівнює $$40.5.$$

Графік функції
$$y=\frac{(1-2\cos x)^4}{2}.$$

Відповідь: $$40.5.$$