Завдання 33

За якого найбільшого від’ємного значення параметра $$a$$
рівняння $$\sqrt[4]{|x|-1}-2x=a$$ має один корінь?

Рішення

В умові завдання сказано, що необхідно знайти найбільше від’ємне значення параметра (читай функції) $$a(x),$$ за якого рівняння має 1 корінь.

Розглянемо цю функцію $$a(x)=\sqrt[4]{|x|-1}-2x.$$

Корінь існує при $$|x|-1\geqslant 0,$$ або $$x \in (-\infty; -1]\cup[1; \infty).$$

Оскільки значення параметра за умовою має бути від’ємним, то $$\sqrt[4]{|x|-1}-2x < 0,$$ але $$\sqrt[4]{|x|-1} > 0$$ завжди (корінь парного ступеня), отже $$2x>\sqrt[4]{|x|-1}>0,$$ тобто $$x>0$$ (щоб виконувалася умова завдання), а з урахуванням ОДЗ кореня $$x\geqslant1.$$

Отже, в контексті умови $$|x|=x.$$ Тобто $$a(x)=\sqrt[4]{x-1}-2x.$$

Для знаходження найбільшого значення функції $$a(x)$$ необхідно знайти першу похідну та прирівняти її до нуля.

$$a^{\prime}(x)=(\sqrt[4]{x-1}-2x)^{\prime}=\frac{1}{4(x-1)^{\frac{3}{4}}}-2$$

Знайдемо критичні точки (критична точка може бути точкою мінімуму, максимуму або точкою перегину), коли похідна дорівнює нулю, або не існує.

Прирівняємо похідну до нуля і розв’яжемо отримане рівняння

$$\frac{1}{4(x-1)^{\frac{3}{4}}}-2=0$$

$$\frac{1}{4(x-1)^{\frac{3}{4}}}=2$$

$$\frac{1}{4\cdot2}=(x-1)^{\frac{3}{4}}$$

Скористаємося властивостями коренів і ступенів

$$((x-1)^{\frac{1}{4}})^3=(\frac{1}{2})^3$$

Витягнемо корені третього ступеня з обох частин рівності

$$(x-1)^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$$

Зведемо в 4-й ступінь обидві частини рівняння

$$x-1=\frac{1}{16}$$

$$x=1\frac{1}{16}$$ – критична точка.

Похідна не існує при $$x=1$$ – критична точка.

Для того, щоб показати, що критична точка є максимумом, достатньо показати, що похідна змінює знак з “$$+$$” на “$$-$$” при переході через цю точку зліва направо.

Візьмемо точку на інтервалі $$[1;\infty)$$, що розташована праворуч від $$x=1$$ та ліворуч від $$x=1.0625$$:

$$x=1.0001$$ $$(1<1.0001<1.0625)$$

Підставимо у похідну

$$\frac{1}{4(1.0001-1)^{\frac{3}{4}}}-2=\frac{1}{4(0.0001)^{\frac{3}{4}}}-2=\frac{1}{4\cdot 0.001}-2=\frac{1000}{4}-2=250-2=248>0$$

Тобто $$x=1$$ вже не може бути максимумом, а ліворуч від критичної точки $$x=1.0625$$ похідна має знак “$$+$$”

Візьмемо точку, розташовану праворуч від $$x=1.0625$$:

$$x=2>1.0625$$

Підставимо її в похідну

$$\frac{1}{4(2-1)^{\frac{3}{4}}}-2=\frac{1}{4(1)^{\frac{3}{4}}}-2=\frac{1}{4}-2=0.25-2=-1.75<0$$

Тобто праворуч від критичної точки похідна має знак “$$-$$”

Значить $$x=1.0625$$ – точка максимуму.

Підставимо її у функцію $$a(x)$$ і отримаємо найбільше від’ємне значення параметра $$a$$ на інтервалі $$[1;\infty)$$

$$\sqrt[4]{1\frac{1}{16}-1}-2\cdot\frac{17}{16}=\frac{1}{2}-\frac{34}{16}=\frac{8-34}{16}=-\frac{26}{16}=-1\frac{10}{16}=-1.625$$

Відповідь: $$-1.625$$