ЗНО 2013 з математики (II сесія) [завдання 23]. Розв’язок

Завдання 23

У прямокутній системі координат на площині дані вектори $$\vec{a}(3;4)$$ та $$\vec{b}(-2;2).$$ Кожному початку фрази (1-4) підберіть закінчення (А-Д) так, щоб вийшло правильне твердження.

Початок фрази

1. Довжина вектора $$\vec{a}$$

2. Сумою векторів $$\vec{a}$$ та $$\vec{c}(-3;k)$$ є нульовий вектор, якщо $$k$$

3. Вектори $$\vec{b}$$ та $$\vec{d}(-4;m)$$ колінеарні, якщо $$m$$

4. Скалярний добуток векторів $$\vec{a}$$ та $$\vec{b}$$

Закінчення

А. $$=7.$$

Б. $$=2.$$

В. $$=-4.$$

Г. $$=5.$$

Д. $$=4.$$

Рішення

1. Знайдемо довжину вектора $$\vec{a}$$ за формулою $$|\vec{a}|=\sqrt{x_a^2+y_a^2}$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Отримали відповідність 1-Г.

2. $$\vec{a}+\vec{c}=\vec{0}$$

$$3+(-3)=0$$ и $$4+k=0.$$ Значить $$k=-4.$$

Отримали відповідність 2-В.

3. Вектори будуть колінеарними, якщо $$\frac{-2}{-4}=\frac{2}{m}.$$ Значить $$m=4.$$

Отримали відповідність 3-Д.

4. Скалярний добуток векторів $$\vec{a}$$ та $$\vec{b}$$ знайдемо за формулою $$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_a\cdot x_b + y_a\cdot y_b$$

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot(-2)+4\cdot2=-6+8=2.$$

Отримали відповідність 4-Б.