ЗНО 2013 з математики (I сесія) [завдання 19]. Розв’язок

Завдання 19

У трикутнику $$ABC$$ вписано квадрат $$KLMN$$ (див. рисунок). Висота цього трикутника, проведена до сторони $$AC,$$ дорівнює 6 см. Знайдіть периметр квадрата, якщо $$AC=10$$ см.

А. 15 см

Б. 7.5 см

В. 12.5 см

Г. 17.5 см

Д. 20 см

Рішення

Розглянемо два подібні трикутники: $$\triangle ABC \sim \triangle KBL$$

Нехай $$h_{AC}$$ – висота трикутника $$ABC,$$ проведена до сторони $$AC,$$ $$h_{KL}$$ – висота трикутника $$KBL$$ до сторони $$KL.$$

З подібності трикутників випливає, що $$\frac{KL}{AC}=\frac{h_{KL}}{h_{AC}}$$

Оскільки $$KLMN$$ – квадрат, то $$h_{KL}=h_{AC}-KL$$

Отримали співвідношення

$$\frac{KL}{AC}=\frac{h_{AC}-KL}{h_{AC}}$$

Підставимо відомі значення й отримаємо

$$\frac{KL}{10}=\frac{6-KL}{6}$$

Скористаємося властивістю пропорції

$$6KL=60-10KL \Rightarrow 16KL=60 \Rightarrow KL=\frac{15}{4}$$

$$P_{KLMN}=4KL=15$$ см

Відповідь: А.