Пробне ЗНО 2013 з математики [завдання 33]. Розв’язок

Завдання 33

Знайдіть найменше ціле значення параметра $$a,$$ при якому рівняння
$$\sqrt{x^2-5x}+\sqrt{x^2-9x+20}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{x-5}$$ має два корені.

Рішення

Перетворимо ліву частину. У першому підкореневому виразі винесемо спільний множник за дужки. Для другого використаємо формулу розкладання квадратного тричлена на множники, знайшовши його корені за теоремою Вієта.

$$\sqrt{x(x-5)}+\sqrt{(x-4)(x-5)}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{x-5}$$

ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix} x(x-5) & \geqslant & 0\\ (x-4)(x-5) & \geqslant & 0\\ x-5& \geqslant& 0\\ a& \geqslant & 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\geqslant5,\;a\geqslant0$$

Застосуємо властивість коренів (корінь добутку)

$$\sqrt{x}\cdot\sqrt{x-5}+\sqrt{x-4}\cdot\sqrt{x-5}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{x-5}$$

Винесемо спільний множник за дужки

$$\sqrt{x-5}\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{x-4}-\sqrt{a})=0$$

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один зі співмножників дорівнює нулю, отже

$$\sqrt{x-5}=0$$ або $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}-\sqrt{a}=0$$

$$x=5$$ або $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=\sqrt{a}$$

$$x=5$$ є коренем рівняння і не залежить від параметра $$a$$

Розглянемо рівняння $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=\sqrt{a}$$

Ліва і права частина рівняння невід’ємні ($$\sqrt{}$$ $$\geqslant 0$$). Зведемо у квадрат обидві частини рівняння

$$\left (\sqrt{x}+\sqrt{x-4} \right )^2=\left (\sqrt{a} \right )^2$$

Розкриємо дужки, використовуючи властивості коренів і формулу квадрата суми

$$x+x-4+2\sqrt{x(x-4)}=a$$

$$2\sqrt{x(x-4)}=a+4-2x$$

Ліва частина невід’ємна, отже, і права частина має бути невід’ємною. Отримали додаткову умову $$a+4-2x\geqslant 0\Rightarrow x\leqslant \frac{a+4}{2}$$

З урахуванням ОДЗ

$$5\leqslant x\leqslant \frac{a+4}{2}\Rightarrow \frac{a+4}{2}\geq 5\Rightarrow a\geq 6$$

Зведемо у квадрат обидві частини рівняння

$$\left (2\sqrt{x(x-4)} \right )^2=\left (a+4-2x \right )^2$$

$$4x(x-4)=(a+4)^2+4x^2-4x(a+4)$$

$$4x^2-16x=(a+4)^2+4x^2-16x-4ax$$

$$4ax=(a+4)^2$$

$$x=\frac{(a+4)^2}{4a}$$

Знайдемо найменше ціле значення параметра, за якого знайдений $$x$$ є коренем рівняння

$$\frac{(a+4)^2}{4a}\geqslant 5$$

$$\frac{(a+4)^2}{4a}-5\geqslant 0$$

$$\frac{(a+4)^2-20a}{4a}\geqslant 0$$

$$\frac{a^2+16+8a-20a}{4a}\geqslant 0$$

$$\frac{a^2-12a+16}{4a}\geqslant 0$$

$$a\geqslant 6\Rightarrow 4a>0\Rightarrow a^2-12a+16\geqslant 0$$

Розглянемо $$a^2-12a+16=0$$

Знайдемо корені (скористаємося формулою дискримінанта для парного коефіцієнта при першому ступені)

$$D_1=36-16=20=2^2\cdot5$$

$$a_{1,2}=6\pm2\sqrt{5}$$

$$\left [a-(6-2\sqrt{5}) \right ]\cdot\left [a-(6+2\sqrt{5}) \right ]\geqslant 0$$

$$a\geqslant 6\Rightarrow a-(6-2\sqrt{5}) >0\Rightarrow a-(6+2\sqrt{5})\geqslant 0\Rightarrow a\geqslant 6+2\sqrt{5}$$

$$6+2\sqrt{5} \approx 10.47$$

Значить найменше ціле значення параметра $$a=11$$, за якого вихідне рівняння має два корені

$$x_1=5,\;x_2=\frac{(11+4)^2}{4\cdot11}=\frac{225}{44}=5\frac{5}{44}$$

Відповідь:  $$a=11.$$