Завдання 33

Знайдіть значення параметра $$a,$$ при якому корінь рівняння $$\lg(\sin 5\pi x)=\sqrt{16+a-x}$$ належить проміжку $$(1;\frac{3}{2}).$$

Рішення

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\sin5\pi x&>&0\\ 16+a-x&\geqslant &0\end{matrix}\right.$$

Оскільки квадратний корінь завжди невід’ємний, то $$\lg(\sin5\pi x)\geqslant0$$ або $$\sin5\pi x\geqslant1,$$ але $$|\sin 5\pi x|\leqslant1,$$ значить $$\sin5\pi x=1.$$ Тоді $$\lg(\sin5\pi x)=0,$$ а отже і $$\sqrt{16+a-x}=0.$$

$$\sin5\pi x=1$$ – найпростіше тригонометричне рівняння.

$$5\pi x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}$$

$$x=\frac{1}{10}+\frac{2}{5}k, k\in\mathbb{Z}$$

За умовою $$x\in(1;\frac{3}{2})$$

$$1 < \frac{1}{10}+\frac{2}{5}k < \frac{3}{2}, k\in\mathbb{Z}$$

$$1-\frac{1}{10} < \frac{2}{5}k < \frac{3}{2}-\frac{1}{10}, k\in\mathbb{Z}$$

$$\frac{9}{10}:\frac{2}{5} < k < \frac{14}{10}:\frac{2}{5}, k\in\mathbb{Z}$$

$$2.25 < k < 3.5, k\in\mathbb{Z}$$

$$k=3$$

Тоді $$x=\frac{1}{10}+\frac{2}{5}\cdot3$$

$$x=\frac{13}{10}$$

$$1 < 1.3 < 1.5$$ – вірно.

$$\sqrt{16+a-x}=0\Rightarrow 16+a-x=0\Rightarrow a=x-16\Rightarrow a=1.3-16=-14.7$$

Відповідь: $$-14.7.$$