ЗНО 2013 з математики (II сесія) [завдання 32]. Розв’язок

Завдання 32

В основі піраміди ромб, тупий кут якого дорівнює $$120^{\circ}.$$ Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом $$30^{\circ}.$$

Знайти площу бічної поверхні піраміди (у см2), якщо її висота дорівнює 4 см.

Рішення

$$SABCD$$ – піраміда.

$$ABCD$$ – ромб: $$\angle ABC=\angle ADC=120^{\circ},$$ $$\angle BAD = \angle BCD=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ},$$ $$BE \perp DC,$$ $$BE$$ – висота ромба.

$$(SBA)\perp (ABCD),$$ $$(SBC)\perp (ABCD),$$ тобто $$SB=5$$ см – висота піраміди.

$$\angle SEB=30^{\circ}$$

$$\triangle SBA=\triangle SBC$$ (за двома сторонами: $$SB$$ – спільна, $$AB=BC$$ і куту між ними: $$\angle SBA=\angle SBC =90^{\circ}$$), значить $$SA=SC$$ й $$S_{\triangle SBA}=S_{\triangle SBC}.$$

$$\triangle SDA=\triangle SDC$$ (за трьома сторонами $$SD$$ – спільна, $$AD=DC,$$ $$SA=SC$$), значить $$S_{\triangle SDA}=S_{\triangle SDC}.$$

Тоді площу бічної поверхні піраміди можна знайти за формулою:

$$S=S_{\triangle SBA}+S_{\triangle SBC}+S_{\triangle SDA}+S_{\triangle SDC}=2(S_{\triangle SBC}+S_{\triangle SDC})$$

Площі трикутників можна знайти за формулами: $$S_{\triangle SBC}=\frac{1}{2}BC\cdot SB$$ й $$S_{\triangle SDC}=\frac{1}{2}DC\cdot SE.$$

Значить $$S=2(\frac{1}{2}BC\cdot SB+\frac{1}{2}DC\cdot SE)=BC\cdot SB+BC\cdot SE=BC(SB+SE)$$

Розглянемо $$\triangle SBE:$$ $$\angle B=90^{\circ},$$ $$\angle E=30^{\circ},$$ $$SB=5$$ см – катет проти кута в $$30^{\circ}$$ та він дорівнює половині гіпотенузи $$SE,$$ значить $$SE=10$$ см.

За теоремою Піфагора $$BE=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{(10-5)(10+5)}=\sqrt{5\cdot15}=\sqrt{5^2\cdot3}=5\sqrt{3}$$ см.

$$BE$$ – висота ромба і висота рівностороннього трикутника $$BCD$$ (кути по $$60^{\circ}$$) може бути обчислена за формулою $$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a,$$ де $$a$$ – сторона рівностороннього трикутника (вона ж є і стороною ромба).

Отже, з одного боку $$BE=5\sqrt{3}$$ см, а з іншого – $$BE=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$$ Прирівняємо і знайдемо сторону ромба: $$a=\frac{5\sqrt{3}\cdot2}{\sqrt{3}}=10$$ см.

Тоді $$S=10(5+10)=150$$ см2.

Відповідь: 150.