Завдання 17

Спростіть вираз $$(1+\text{tg}^2\alpha)\cdot\sin^2\alpha.$$

А) $$\text{tg}^2\alpha$$
Б) 1
В) $$\cos^2\alpha\sin^2\alpha$$
Г) $$\cos^2\alpha$$
Д) $$\text{ctg}^2\alpha$$

Рішення

Під час розв’язання використовуватимемо формули зв’язку між тригонометричними функціями одного аргументу

$$(1+\text{tg}^2\alpha)\cdot\sin^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\sin^2\alpha=\left ( \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \right )^2=\text{tg}^2\alpha.$$

Відповідь: А.

Завдання 18

Дотична, проведена до графіка функції $$y=f(x)$$ в точці з абсцисою $$x_0$$, нахилена до додатного напряму осі $$Ox$$ під кутом $$45^{\circ}$$ (див. рисунок). Знайдіть $$f'(x_0).$$


А) $$-1$$
Б) $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
В) $$\sqrt{3}$$
Г) $$1$$
Д) $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Рішення

Інакше кажучи, нам необхідно знайти тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції (геометричний сенс похідної)

$$\text{tg}\, 45^{\circ}=1$$

Відповідь: Г.

Завдання 19

Укажіть найменший додатний корінь рівняння $$\sin\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )=0$$.
А) $$\frac{\pi}{6}$$
Б) $$\frac{\pi}{2}$$
В) $$\frac{2\pi}{3}$$
Г) $$\pi$$
Д) $$\frac{5\pi}{3}$$

Рішення

$$\sin\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )=0$$ – окремий випадок найпростішого тригонометричного рівняння

$$x+\frac{\pi}{3}=\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$x=\pi k-\frac{\pi}{3},\;k\in\mathbb{Z}$$

За умовою необхідно знайти найменший додатний корінь

При $$k=1$$ якраз і отримаємо такий корінь

$$x=\pi-\frac{\pi}{3}\Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}$$

Відповідь: В.

Завдання 20

На рисунку зображено графік квадратичної функції $$y=f(x)$$, який перетинає вісь $$Ox$$ в точках $$(1;0)$$ та $$(4;0)$$. Знайдіть множину всіх розв’язків нерівності $$x\cdot f(x)<0.$$


А) $$(0;1)\cup(4;\infty)$$
Б) $$(4;\infty)$$
В) $$(-\infty;1)\cup(4;\infty)$$
Г) $$(-\infty;0)\cup(1;4)$$
Д) $$(-\infty;0)$$

Рішення

Для побудови графіка добутку функцій необхідно побудувати графіки функцій, що входять до добутку, і перемножити значення ординат, що відповідають одним і тим самим значенням аргументу.

Побудуємо графіки функцій $$y=f(x)$$ й $$y=x$$. Відзначимо знаком “$$+$$” ті області, де добуток ординат позитивний, і знаком “$$-$$” – від’ємне значення.

Таким чином розв’язком нерівності $$x\cdot f(x)<0$$ буде множина $$x \in (0;1)\cup(4;\infty).$$

Відповідь: А.