Пробне ЗНО 2013 з математики [завдання 27]. Розв’язок

Завдання 27

Розв’яжіть систему нерівностей $$\left\{\begin{matrix} (0.5)^{1-2x} & > & (0.5)^{8+x}\\ \frac{4}{x-5}&< &0 \end{matrix}\right.$$.

У відповідь запишіть кількість усіх цілих розв’язків цієї системи. Якщо система має безліч цілих розв’язків, то у відповіді запишіть число 100.

Рішення

У першій нерівності показникові функції з однаковою основою, меншою за одиницю $$(0.5<1).$$ Такі функції є спадними. Отже, під час переходу до порівняння ступенів, знак нерівності зміниться на протилежний

$$(0.5)^{1-2x}> (0.5)^{8+x}\sim 1-2x<8+x$$

$$3x>-7$$

$$x>-\frac{7}{3}$$

$$x>-2\frac{1}{3}$$

Розглянемо другу нерівність системи

$$\frac{4}{x-5}<0$$

Дріб менший за нуль, коли чисельник і знаменник дробу мають різні знаки.

Оскільки $$4>0$$, то $$\frac{4}{x-5}< 0\sim x-5<0$$

$$x<5$$

Тобто отримали

$$\left\{\begin{matrix} x&>&-2\frac{1}{3}\\ x&<&5 \end{matrix}\right.$$.

На інтервалі $$(-2\frac{1}{3};5 )$$ сім цілих розв’язків системи: $$-2;-1;0;1;2;3;4$$

Відповідь: 7.