Пробне ЗНО 2013 з математики [завдання 13-16]. Розв’язок

Завдання 13

Спростіть вираз $$\frac{9-x^2}{x^2+6x+9}.$$

А) $$\frac{3-x}{x+3}$$
Б) $$\frac{x-3}{x+3}$$
В) $$3-x$$
Г) $$\frac{1}{x+3}$$
Д) 1

Рішення

Виконаємо перетворення, застосувавши формули скороченого множення

$$\frac{9-x^2}{x^2+6x+9}=\frac{(3-x)(3+x)}{(x+3)^2}=\frac{3-x}{x+3}$$

Відповідь: А.

Завдання 14

Діаметр основи конуса дорівнює 6 см, а площа його бічної поверхні – $$24\pi$$ см2. Знайдіть довжину твірної конуса.

А) 2 см
Б) 4 см
В) 6 см
Г) 8 см
Д) 12 см

Рішення

Діаметр основи конуса дорівнює 6 см, отже радіус дорівнює 3 см.

Площа бічної поверхні конуса знаходиться за формулою

$$S=\pi\cdot R\cdot l$$, де $$R$$ – радіус основи конуса, $$l$$ – твірна конуса. Оскільки площа бічної поверхні конуса дорівнює $$24\pi$$ см2, то твірна дорівнює

$$l=\frac{S}{R\pi}=\frac{24\pi}{3\pi}=8$$ см.

Відповідь: Г.

Завдання 15

На рисунку зображено круг з центром у точці О, радіус якого дорівнює 12 см. Радіуси ОА та ОВ ділять круг на два кругові сектори. Визначте площу більшого сектора, якщо кут $$\alpha=120^{\circ}.$$


А) $$16\pi$$ см2
Б) $$48\pi$$ см2
В) $$96\pi$$ см2
Г) $$108\pi$$ см2
Д) $$144\pi$$ см2

Рішення

Площа кола можна знайти за формулою

$$S=\pi r^2$$

Площу меншого сектора можна знайти за формулою

$$S_1=\frac{\pi r^2\alpha}{360^{\circ}}$$

Площу більшого сектора знайдемо як різницю площі кола і площі меншого сектора

$$S_2=S-S_1=\pi r^2-\frac{\pi r^2\alpha}{360^{\circ}}=\frac{\pi r^2(360^{\circ}-\alpha)}{360^{\circ}}=$$

$$=\frac{\pi\cdot144\cdot(360^{\circ}-120^{\circ})}{360^{\circ}}=\frac{2}{3}\cdot 144\pi=96\pi$$ см2

Відповідь: В.

Завдання 16

Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см, її висота – 8 см. Знайдіть довжину сторони основи піраміди.

А) 12 см
Б) $$6\sqrt{3}$$ см
В) 4 см
Г) 4 см
Д) $$6\sqrt{2}$$ см

Рішення

З прямокутного трикутника за теоремою Піфагора (див. рисунок) знайдемо $$x$$, який дорівнює половині сторони основи правильної чотирикутної піраміди

$$x^2=10^2-8^2=100-64=36\Rightarrow x=6$$ см.

Тоді довжина сторони дорівнює 12 см.

Відповідь: А.