Завдання. Знайти площу прямокутного трикутника, якщо сторони утворюють арифметичну прогресію

Завдання

Числа, що виражають довжини сторін прямокутного трикутника, утворюють арифметичну прогресію. Менший катет трикутника дорівнює $$a.$$ Знайти площу трикутника.

Рішення

$$a_{1},a_{2}, a_{3}$$ – арифметична прогресія.

$$a_{2}=a_{1}+d,\; a_{3}=a_{1}+2d$$

$$a_{1}$$ и $$a_{2}$$ – катеты, $$a_{3}$$ – гіпотенуза прямокутного трикутника.

З прямокутного трикутника за теоремою Піфагора:

$$a_{3}^2=a_{1}^2+a_{2}^2$$

За умовою $$a_{1}=a\Rightarrow a_{2}=a+d,\; a_{3}=a+2d$$

Отримали квадратне рівняння відносно змінної $$d:$$

$$\left (a+2d \right )^2=a^2+\left ( a+d \right )^2$$

Розкриємо дужки, використовуючи формули скороченого множення:

$$a^2+4d^2+4ad=a^2+a^2+d^2+2ad$$

Наведемо подібні доданки:

$$3d^2+2ad-a^2=0$$

Знайдемо корені квадратного рівняння:

$$D_{1}=a^2+3a^2=4a^2=(2a)^2$$

$$d_{1}=\frac{-a-2a}{3}=-a$$ – сторонній корінь

$$d_{2}=\frac{-a+2a}{3}=\frac{1}{3}a$$

$$d=\frac{1}{3}a\Rightarrow a_{2}=a+\frac{1}{3}a=\frac{4}{3}a, \; a_{3}=a+\frac{2}{3}a=\frac{5}{3}a$$

Знайдемо площу прямокутного трикутника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a_{1}\cdot a_{2}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{4}{3}a$$

$$S=\frac{2}{3}a^2$$