ЗНО 2013 з математики (I сесія) [завдання 27]. Розв’язок

Завдання 27

Розв’яжіть нерівність $$\frac{4}{x+3}+\frac{6}{x}\geqslant1.$$

У відповіді запишіть суму всіх цілих її розв’язків.

Рішення

Перенесемо все в ліву частину і приведемо до спільного знаменника.

$$\frac{4}{x+3}+\frac{6}{x}-1\geqslant0$$

$$\frac{4x+6(x+3)-x(x+3)}{x(x+3)}\geqslant 0$$

Розкриємо дужки в чисельнику і наведемо подібні доданки

$$\frac{4x+6x+18-x^2-3x}{x(x+3)}\geqslant 0$$

$$\frac{-x^2+7x+18}{x(x+3)}\geqslant 0$$

Розглянемо многочлен $$-x^2+7x+18$$ і знайдемо його корені

$$-x^2+7x+18=0$$ – квадратне рівняння

За теоремою Вієта $$x_1=-2, x_2=9$$

Значить за формулою розкладання $$-x^2+7x+18=-1(x+2)(x-9)$$

Повернемося до нерівності

$$\frac{-1(x+2)(x-9)}{x(x+3)}\geqslant 0$$

Домножимо обидві частини нерівності на $$-1$$ при цьому змінивши знак нерівності на протилежний

$$\frac{(x+2)(x-9)}{x(x+3)}\leqslant 0$$

Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів

$$x\in(-3;-2]\cup(0;9]$$

$$-2+1+2+3+4+5+6+7+8+9=-2+\frac{1+9}{2}\cdot9=-2+45=43$$ (скористалися сумою перших дев’яти членів арифметичної прогресії 1; 2; 3; …)

Відповідь: 43.