Завдання. Знайти значення тригонометричного виразу

Завдання

Знайти значення виразу:

$$\text{ctg}\left (\arccos(-\frac{1}{3}) \right )$$

Рішення:

$$\text{ctg}\left (\arccos(-\frac{1}{3}) \right )=\text{ctg}(\pi-\arccos\frac{1}{3})=-\text{ctg}(\arccos\frac{1}{3})$$

Заміна:

$$\arccos\frac{1}{3}=t\in(0;\frac{\pi}{2})\Rightarrow -\text{ctg} t=?$$

Так як кут розташований у першій чверті і $$\cos t=\frac{1}{3},$$ то

$$\sin t =\sqrt{1-\cos^2t}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Тоді:

$$-\text{ctg}\, t=-\frac{\cos t}{\sin t}=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=-\frac{1}{4}\sqrt{2}$$

Отже, $$\text{ctg}\left (\arccos(-\frac{1}{3}) \right )=-\frac{1}{4}\sqrt{2}$$.