Пропонуємо Вашій увазі розв’язання тестових завдань четвертої частини першого варіанта ДПА 2012 з математики для одинадцятого класу.

Четверта частина атестаційної роботи складається з чотирьох завдань відкритої форми з розгорнутою відповіддю. Розв’язання завдань 4.1 – 4.4 має містити пояснення. У ньому необхідно записати послідовні логічні дії та пояснення, послатися на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. За необхідності розв’язки ілюструються схемами, графіками, таблицями.

Завдання 4.1

Розв’язати нерівність для кожного значення параметра $$a.$$

$$\sqrt{x^2+8x-9}(x-a)\geqslant 0.$$

Рішення

ОДЗ: $$x^2+8x-9\geqslant 0$$

За теоремою Вієта $$x_1=-9,\;x_2=1$$ – корені квадратного тричлена $$x^2+8x-9= 0.$$ Застосуємо формулу розкладання квадратного тричлена на множники й отримаємо $$(x+9)(x-1)\geqslant 0.$$

Для розв’язання нерівності використовуємо метод інтервалів.

$$x\in(-\infty;-9]\cup [1;\infty).$$

Почнемо розв’язувати вихідну нерівність.

Оскільки квадратний корінь завжди невід’ємний, тобто $$\sqrt{x^2+8x-9}\geqslant 0,$$ то отримали сукупність:

$$\left[ \begin{matrix} x & = & -9\\ x & = & 1\\ x&-&a & \geqslant & 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} x & = & -9\\ x & = & 1\\ x & \geqslant & a \end{matrix}\right.$$

Відповідь:

Три випадки (з урахуванням ОДЗ):

1) $$a<-9\Rightarrow x\in[a;-9]\cup[1;\infty).$$

2) $$a\in[-9;1]\Rightarrow x\in[1;\infty)\cup\left \{ -9 \right \}.$$

3) $$a>1\Rightarrow x\in[a;\infty)\cup\left \{ -9;1 \right \}.$$

Завдання 4.2

Обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій $$y=|4-x^2|$$ й $$y=4+2|x|.$$

Рішення

Для знаходження площі фігури, обмеженої графіками функцій, необхідно обчислити визначений інтеграл. Але спочатку побудуємо графіки даних функцій.

Графік I функції $$y=|4-x^2|$$ отримано шляхом перетворень (спочатку будується парабола $$y=4-x^2,$$ а потім та частина графіка, яка нижча за вісь абсцис, симетрично відображається відносно цієї осі). Графік II функції $$y=4+2|x|$$ також отримано шляхом перетворень. Ця функція еквівалентна функції $$y=\left\{\begin{matrix} 4+2x,\;x\geqslant 0\\ 4-2x,\;x<0 \end{matrix}\right.$$ (дві напівпрямі).

Отримали фігуру, яка симетрична відносно осі ординат. Обчислимо площу фігури (скористаємося властивостями визначеного інтеграла та формулою Ньютона-Лейбніца)

$$S=\int_{-4}^{4}\left ( 4+2|x|-|4-x^2| \right )dx=2\int_{0}^{4}\left ( 4+2|x|-|4-x^2| \right )dx=$$

$$=2\int_{0}^{2}\left ( 4+2x-4+x^2 \right )dx+2\int_{2}^{4}\left ( 4+2x+4-x^2 \right )dx=$$

$$=2\int_{0}^{2}\left ( 2x+x^2 \right )dx+2\int_{2}^{4}\left ( 8+2x-x^2 \right )dx=$$

$$=2\left ( x^2+\frac{x^3}{3} \right )|_{0}^2+2\left ( 8x+x^2-\frac{x^3}{3} \right )|_{2}^{4}=$$

$$=2\left ( 4+\frac{8}{3} \right )+2\left ( 32+16-\frac{64}{3}-16-4+\frac{8}{3} \right )=$$

$$=\frac{40}{3}+\frac{56}{3}=\frac{96}{3}=32$$

Відповідь: 32.

Завдання 4.3

Кути при основі трапеції дорівнюють $$20^{\circ}$$ й $$70^{\circ},$$ а довжина відрізка, що з’єднує середини основ, – 2 см. Знайти довжини основ трапеції, якщо довжина її середньої лінії дорівнює 4 см.

Рішення

Нехай $$ABCD$$ – дана трапеція. $$BP=PC=a,\;AK=KD=b,$$ $$KP=2$$ см – відрізок, що з’єднує середини основ. Продовжимо бічні сторони трапеції до перетину в точці $$N.$$ Отримали прямокутний трикутник $$AND$$ (за умовою сума кутів при основі дорівнює $$20^{\circ}+70^{\circ}=90^{\circ}$$). $$NK$$ – медіана трикутника $$(AK=KD).$$ Оскільки основи трапеції паралельні, то $$NK$$ проходить через точку $$P.$$

Довжина медіани трикутника, проведеної з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи. Отже, $$NK=AK=KD=b,\; NP=BP=PC=a.$$

$$NK-NP=KP\Rightarrow b-a=2.$$

За умовою довжина середньої лінії трапеції дорівнює 4 см, отже

$$\frac{BC+AD}{2}=4\Rightarrow \frac{2a+2b}{2}=4\Rightarrow a+b=2$$

Отримали систему двох рівнянь із двома невідомими

$$\left\{\begin{matrix} b-a=2\;(1)\\ b+a=2\;(2) \end{matrix}\right.$$

$$(1)+(2)\Rightarrow 2b=6\Rightarrow b=3$$

$$(2)+(1)\Rightarrow 2a=2\Rightarrow a=1$$

Отримали $$BC=2a=2$$ см, $$AD=2b=6$$ см.

Відповідь: 2 см; 6 см.

Завдання 4.4

У кулю радіуса $$R$$ вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з площиною основи кут $$\alpha,$$ а з меншою бічною гранню – кут $$\beta.$$ Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Рішення

$$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ – прямокутний паралелепіпед. $$O$$ – центр описаної кулі та середина діагоналі $$DB_1.$$ $$\angle B_1DB=\alpha$$ – кут нахилу діагоналі до площини основи. $$\angle B_1DC_1=\beta$$ – кут між діагоналлю $$DB_1$$ і меншою гранню ($$DC_1$$ є проєкцією діагоналі $$DB_1$$ на бічну грань). $$OD=R$$ – радіус кулі, так що $$DB_1=2R.$$

З прямокутних трикутників за визначенням тригонометричних функцій і теоремою Піфагора:

$$\triangle B_1BD:\;BD=2R\cos\alpha,\;BB_1=2R\sin\alpha=CC_1.$$

$$\triangle B_1C_1D:\;C_1D=2R\cos\beta,\;B_1C_1=2R\sin\beta=BC.$$

$$\triangle C_1CD:\;DC^2=C_1D^2-CC_1^2=4R^2(\cos^2\beta-\sin^2\alpha)$$

$$DC=2R\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}.$$

Знайдемо площу бічної поверхні паралелепіпеда

$$S=2(BC+DC)\cdot BB_1=2(2R\sin\beta+2R\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha})\cdot2R\sin\alpha=$$

$$=8R^2\sin\alpha(\sin\beta+\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}).$$

Відповідь: $$8R^2\sin\alpha(\sin\beta+\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}).$$

Джерело: Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 11 кл. / О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко. – К.: Центр навч.-метоод. л-ри, 2012.