ДПА 2012. 9 клас. Розв’язок 2 варіанту (4 частина)

Четверта частина атестаційної роботи (для учнів класів з поглибленим вивченням математики) складається з двох завдань відкритої форми з розгорнутою відповіддю. Розв’язання завдань 4.1 – 4.2 має містити пояснення. У ньому необхідно записати послідовні логічні дії та пояснення, послатися на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. За необхідності розв’язки ілюструються схемами, графіками, таблицями.

Завдання 4.1

Розв’яжіть систему рівнянь $$\left\{\begin{matrix} x + y + \sqrt{xy} = 13\\ x^2 + xy + y^2 = 91 \end{matrix}\right..$$

Рішення

Заміна:

Нехай $$x+y=u,\;\sqrt{xy}=v$$, тоді

$$u^2=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy,\;v^2=(\sqrt{xy})^2=xy$$.

$$\left (x+y \right )+\sqrt{xy}=u+v$$.

$$x^2+xy+y^2=x^2+y^2+2xy-xy=\left (x^2+y^2+2xy \right )-\left (\sqrt{xy} \right )^2=u^2-v^2$$.

Підставимо в перше і друге рівняння системи:

$$\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ u^2 – v^2 = 91 \end{matrix}\right.$$

До другого рівняння системи застосуємо формулу різниця квадратів

$$\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ (u-v) (u+v) = 91 \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ 13(u-v) = 91 \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ u-v = 7 \end{matrix}\right.$$

До першого рівняння системи додамо друге:

$$2u=20\Rightarrow u=10$$

Від першого рівняння системи віднімемо друге:

$$2v=6\Rightarrow v=3$$

Зворотна заміна:

$$\left\{\begin{matrix} x+y=10\\ \sqrt{xy}=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=10\\ xy=9 \end{matrix}\right.$$

Застосуємо теорему, яка є зворотною до теореми Вієта, отримаємо

$$\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=9 \end{matrix}\right.$$ або $$\left\{\begin{matrix} x=9\\ y=1 \end{matrix}\right.$$.

Відповідь: $$(1;9),\;(9;1)$$.

Завдання 4.2

Знайдіть рівняння кола з центром у точці $$O(1;-2)$$, яке дотикається до прямої $$3x-4y+9=0.$$

Рішення

Спочатку знайдемо відстань від точки до прямої

$$d=\left | \frac{3\cdot1-4\cdot(-2)+9}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \right |=\frac{20}{\sqrt{25}}=4$$

Оскільки коло торкається прямої $$3x-4y+9=0$$, то відстань від центру кола $$O(1;-2)$$ до точки торкання (відстань від точки до прямої) є радіусом кола, тобто $$R=4$$.

Запишемо рівняння кола з центром у точці $$O(1;-2)$$ і радіусом $$R=4$$:

$$(x-1)^2+(y+2)^2=16.$$

Відповідь: $$(x-1)^2+(y+2)^2=16.$$