Задача

Різниця половини першого числа і третини другого числа дорівнює 2. Якщо ж перше число зменшити на його четверту частину, а друге число збільшити на шосту його частину, то сума отриманих чисел дорівнюватиме 53. Знайдіть ці числа.

Рішення

Нехай $$x$$ та $$y$$ – перше і друге шукане число відповідно.

За умовою різниця половини першого числа і третини другого числа дорівнює 2, тобто

$$\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2$$.

Оскільки сума зменшеного на чверть першого числа і збільшеного на шосту частину другого числа дорівнює 53, то

$$\left (x-\frac{x}{4} \right )+\left (y+\frac{y}{6} \right )=53$$.

Отримали систему двох рівнянь із двома невідомими

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}&-&\frac{y}{3}&=&2\\ \\\left (x-\frac{x}{4} \right )&+&\left (y+\frac{y}{6} \right )&=&53 \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}x&-&\frac{1}{3}y&=&2&(1)\\ \\ \frac{3}{4}x &+&\frac{7}{6}y&=&53 &(2)\end{matrix}\right.$$

Від другого рівняння віднімемо перше, помножене на три других, тобто $$(2)-\frac{3}{2}\cdot(1):$$

$$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+\frac{7}{6}y-\left ( -\frac{1}{3}y\cdot\frac{3}{2} \right )=53-2\cdot\frac{3}{2}$$

$$\frac{7}{6}y+\frac{3}{6}y=53-3\Rightarrow \frac{10}{6}y=50\Rightarrow y=\frac{50\cdot6}{10}$$

$$y=30$$

До другого рівняння додамо перше, помножене на сім других, тобто $$(2)+\frac{7}{2}\cdot(1):$$

$$\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}x+\frac{7}{6}y-\frac{7}{6}y=53+7$$

$$\frac{10}{4}x=60$$

$$x=24$$

Відповідь: 24 та 30.