Завдання. Розв’язати числову нерівність методом інтервалів

Завдання

Розв’язати нерівність:

$$(4+2x)(4+x)(1-x)(x-3)\geqslant 18$$

Рішення

$$2(x+2)(x+4)(-1)(x-1)(x-3)-18\geqslant 0$$

Поділимо обидві частини нерівності на $$-2$$ (при діленні на від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний).

$$(x+2)(x+4)(x-1)(x-3)+9\leqslant 0$$

Зауважимо, що якщо скласти вільні члени в 1-й і 3-й дужках та у 2-й і 4-й дужках, то отримаємо по 1.

Розташуємо дужки наступним чином:

$$(x+2)(x-1)(x+4)(x-3)+9\leqslant 0$$

Перемножимо двочлени з 1-ї та 2-ї дужок, а також з 3-ї та 4-ї дужок:

$$(x^2+x-2)(x^2+x-12)+9\leqslant 0$$

Заміна:

$$x^2+x-2=t$$

$$t(t-10)+9\leqslant0$$

$$t^2-10t+9\leqslant0$$

Розглянемо рівняння:

$$t^2-10t+9=0$$

За теоремою Вієта:

$$t_{1}+t_{2}=10,\; t_{1}\cdot t_{2}=9\Rightarrow t_{1}=1,\; t_{2}=9$$

Застосуємо формулу розкладання квадратного тричлена на множники:

$$t^2-10t+9=(t-1)(t-9)$$

$$(t-1)(t-9)\leqslant0$$

Використовуємо метод інтервалів:

$$t\in[1;9]\Rightarrow 1\leqslant t\leqslant 9$$

Зворотна заміна:

$$1\leqslant x^2+x-2\leqslant 9$$

Перейдемо до еквівалентної системи:

$$\left\{\begin{matrix} x^2+x-2\geqslant1\\ x^2+x-2\leqslant9 \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} x^2+x-3\geqslant0\\ x^2+x-11\leqslant0 \end{matrix}\right.$$

Для кожної з нерівностей системи запишемо відповідні їм рівняння і знайдемо їх корені:

$$\begin{matrix} x^2+x-3=0\;\;& \;\;\;\;\;\;\;\;\; &\;\;\;\;\;\;\;\;\; x^2+x-11=0\;\;\;\;\;\;\\ D=1+12=13 & \;\;\;\;\;\;\;\;\; &\;\;\; D=1+44=45\\ x_{1}=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\;\;\;\;\;\; & \;\;\;\;\;\;\;\;\; &x_{1}=\frac{-1-3\sqrt{5}}{2}\;\;\;\\ x_{2}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\;\;\;\;\;\;&\;\;\;\;\;\;\;\;\; & x_{2}=\frac{-1+3\sqrt{5}}{2}\;\;\; \end{matrix}$$

Далі, як і в попередньому випадку, скористаємося формулою розкладання квадратного тричлена на множники. Отримаємо систему нерівностей:

$$\left\{\begin{matrix} (x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2})(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2})\geqslant0\\\\ (x-\frac{-1-3\sqrt{5}}{2})(x-\frac{-1+3\sqrt{5}}{2})\leqslant0 \end{matrix}\right.$$

Для кожної з нерівностей застосуємо метод інтервалів і отримаємо:

$$\left\{\begin{matrix} x\in(-\infty; \frac{-1-\sqrt{13}}{2}]\cup [\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty)\\\\ x\in [\frac{-1-3\sqrt{5}}{2};\frac{-1+3\sqrt{5}}{2}]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\end{matrix}\right.$$

Знайдемо перетин отриманих множин:

Отримали:

$$x\in\left [-\frac{1+3\sqrt{5}}{2}; -\frac{1+\sqrt{13}}{2} \right ]\cup\left [ \frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{-1+3\sqrt{5}}{2} \right ]$$