Пропонуємо Вашій увазі розв’язання тестових завдань другої частини першого варіанта ДПА 2012 з математики для одинадцятого класу.

Друга частина атестаційної роботи складається з чотирьох завдань відкритої форми з короткою відповіддю.

Завдання 2.1

Розв’язати рівняння $$4^x+2^{x+1}=80.$$

Рішення

Скористаємося властивостями ступенів

$$(2^2)^x+2\cdot2^x-80=0$$

$$(2^x)^2+2\cdot2^x-80=0$$

Заміна $$2^x=t> 0$$

$$t^2+2t-80=0$$

За теоремою Вієта:

$$t_1=-10$$ (сторонній корінь) і $$t_2=8$$

Зворотна заміна $$2^x=8\Rightarrow 2^x=2^3\Rightarrow x=3.$$

Відповідь: 3.

Завдання 2.2

У скриньці лежить 12 білих і кілька чорних куль. Скільки чорних куль у скриньці, якщо ймовірність вийняти навмання чорну кулю дорівнює $$\frac{2}{5}$$?

Рішення

За визначенням імовірності $$P(A)=\frac{m}{n}$$, де $$m$$ – число сприятливих результатів (кількість чорних куль), $$n$$ – усіх результатів (кількість усіх куль). Тоді $$P(A)=\frac{m}{12+m}=\frac{2}{5}$$.

З пропорції отримаємо

$$5\cdot m=(12+m)\cdot2$$

$$5m-2m=24\Rightarrow 3m=24\Rightarrow m=8$$.

Відповідь: 8.

Завдання 2.3

Розв’язати рівняння $$\sqrt{x}+2\sqrt[4]{x}-8=0.$$

Рішення

ОДЗ: $$x\geqslant 0$$.

Заміна $$\sqrt[4]{x}=t\geqslant 0$$

$$t^2+2t-8=0$$

За теоремою Вієта:

$$t_1=-4$$ (сторонній корінь), $$t_2=2$$.

Зворотна заміна $$\sqrt[4]{x}=2\Rightarrow x=2^4\Rightarrow x=16$$.

Відповідь: 16.

Завдання 2.4

Вершини квадрата зі стороною 8 см належать сфері. Знайти площу сфери, якщо відстань від центру сфери до площини квадрата дорівнює 2 см.

Рішення

Виконаємо побудову. $$ABCD$$ – квадрат зі стороною 8 см, що знаходиться на відстані $$OO_1=2$$ см від центру сфери.

Діагональ квадрата за теоремою Піфагора дорівнює: $$BD=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$$ см. Тоді $$O_1D=\frac{1}{2}BD=4\sqrt{2}$$ см.

З прямокутного трикутника $$OO_1D\;(\angle OO_1D=90^{\circ})$$ за теоремою Піфагора:

$$R=OD=\sqrt{OO_1^2+O_1D^2}=\sqrt{2^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{36}=6$$ см.

Знайдемо площу сфери:

$$S=4\pi R^2=4\pi\cdot6^2=144\pi$$ см2.

Відповідь: $$144\pi$$ см2.

Джерело: Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 11 кл. / О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко. – К.: Центр навч.-метоод. л-ри, 2012.