Завдання. Знайти площу трикутника, сторони якого дорівнюють медіанам іншого трикутника

Задача

Площа трикутника $$ABC$$ дорівнює 4. Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють медіанам трикутника $$ABC$$.

Рішення

$$O$$ – точка перетину медіан трикутника $$\triangle ABC$$. $$BK$$ – медіана з вершини $$B$$. Продовжимо її на відрізок, що дорівнює $$OK$$, тобто $$KD=OK$$. Отримали паралелограм $$AOCD$$, отже $$AO=DC$$.

Оскільки медіани в точці перетину діляться у відношенні $$2:1$$, починаючи від вершини, то сторони $$\triangle OCD$$ дорівнюють $$\frac{2}{3}$$ сторін трикутника, складеного з медіан $$\triangle ABC$$. Значить шуканий трикутник подібний до $$\triangle OCD$$ з коефіцієнтом подібності $$\frac{3}{2}$$, та його площа $$S$$ дорівнює $$\frac{9}{4}$$ площі $$\triangle OCD$$, тобто $$S=\frac{9}{4}S_{\triangle OCD}$$.

З іншого боку трикутник $$\triangle OCD$$ складається з двох, а трикутник $$\triangle ABC$$ із шести трикутників, рівновеликих (з такою самою площею) $$\triangle CKD$$.

Отже, $$S_{\triangle OCD}=\frac{2}{6}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$$

Тоді $$S=\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}$$

Оскільки площа $$S_{\triangle ABC}=4$$, то $$S=3$$

Відповідь: 3.