Завдання. Розв’язати геометричну задачу на знаходження відстані від точки до прямої через похилі та їхні проєкції

Задача

З точки до прямої проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 2 см, а різниця довжин їхніх проєкцій дорівнює 4 см. Знайти відстань від точки до прямої, якщо довжина меншої похилої натуральне число, менше ніж 6.

Рішення

З точки $$B$$ до прямої $$AC$$ проведені дві похилі $$BA$$ та $$BC,$$ $$BC-BA=2$$ см. $$AD$$ та $$CD$$ – проєкції похилих, $$CD-AD=4$$ см. $$BD$$ – відстань від точки $$B$$ до прямої $$AC,$$ $$BD\perp AC.$$

Нехай $$AB$$ – менша похила, $$AB=x\;\left (x\in\mathbb{N},x<6 \right ),$$ тоді за умовою $$BC = (x + 2).$$ Розглянемо два прямокутні трикутники $$BDA$$ та $$BDC.$$ За теоремою Піфагора $$BD^2=AB^2-AD^2$$ та $$BD^2=BC^2-DC^2.$$

Ліві частини рівні, отже рівні й праві частини

$$AB^2-AD^2=BC^2-DC^2\Rightarrow BC^2-AB^2=DC^2-AD^2$$

Оскільки різниця довжин проєкцій дорівнює 4 см, то

$$(x+2)^2-x^2=(AD+4)^2-AD^2$$

Застосуємо формулу різниці квадратів, наведемо подібні доданки й отримаємо

$$4(x+1)=8(AD+2)$$

Обчислимо $$AD$$

$$AD=\frac{x-3}{2}$$

$$AD>0\Rightarrow x>3$$ $$\Rightarrow x=4$$ або $$x=5.$$

1) $$x=4$$

$$AB=4,\;BC=4+2=6,\;AD=\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2},\;DC=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}$$

$$BD^2=4^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^2=\frac{64-1}{4}=\frac{63}{4}\Rightarrow BD=\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ (см)

або з другого трикутника

$$BD^2=6^2-\left ( \frac{9}{2} \right )^2=\frac{144-81}{4}=\frac{63}{4}\Rightarrow BD=\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ (см)

Бачимо, що значення збігаються, тобто відстань дорівнює $$\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ см.

2) $$x=5$$

$$AB=5,\;BC=5+2=7,\;AD=\frac{5-3}{2}=1,\;DC=1+4=5$$

$$BD^2=5^2-1^2=24\Rightarrow BD=2\sqrt{6}$$ (см)

аналогічно з другого трикутника

$$BD^2=7^2-5^2=24\Rightarrow BD=2\sqrt{6}$$ (см).

Тобто відстань дорівнює $$2\sqrt{6}$$ см.

Відповідь: $$\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ см або $$2\sqrt{6}$$ см.