Визначений інтеграл та його властивості

Неформально кажучи, визначений інтеграл є площею криволінійної трапеції.

Геометричний зміст визначеного інтеграла

Визначений інтеграл $$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx$$ чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої віссю абсцис, прямими $$x=a$$ та $$x=b$$ і графіком функції $$y=f(x).$$

Формула Ньютона-Ляйбніца

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a),\;F'(x)=f(x)$$

Метод підстановки для визначеного інтеграла

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\int\limits_{\alpha}^{\beta}f[\phi(t)]\phi'(t)\,dt,\;x=\phi(t),\;\phi(\alpha)=a,\;\phi(\beta)=b$$

Інтегрування частинами для визначеного інтеграла

$$\int\limits_{a}^{b}u(x)\,dv(x)=u(x)v(x)|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v(x)\,du(x)$$

Властивості визначеного інтеграла

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = -\int\limits_{b}^{a}f(x) \, dx,\; a < b $$

$$\int\limits_{a}^{a}f(x)\,dx=0$$

$$\int\limits_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]\,dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\pm\int\limits_{a}^{b}g(x)\,dx$$

$$\int\limits_{a}^{b}kf(x)\,dx=k\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx,\;k=\text{const}$$

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx+\int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx$$