Завдання. Розв’язати нерівність, що містить корені

Завдання

Розв’язати нерівність $$\sqrt{x+6} > \sqrt{x+1} + \sqrt{2x-5}$$

Рішення

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} x+6\geqslant 0 \\ x+1\geqslant 0 \\ 2x-5\geqslant 0 \end{matrix}\right.$$

або $$x \geqslant \frac{5}{2}$$

Ліва і права частини нерівності невід’ємні (квадратний корінь і сума квадратних коренів невід’ємні), зведемо до квадрата

$$x+6 > x+1+2x-5+2\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5}$$

$$2\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5} < -2x+10$$

Розділимо на додатне число 2, при цьому знаки нерівності зберігаються

$$\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5} < 5-x$$

Ліва частина невід’ємна, тоді вимагаємо, щоб і права частина була невід’ємною для того, щоб звести до квадрата. Отримаємо додаткову умову $$5-x \geqslant 0$$ або $$x \leqslant 5$$.

Зводимо у квадрат

$$(x+1)(2x-5) < 25+x^2-10x$$

Після розкриття дужок, перенесення в ліву частину і приведення подібних доданків, отримаємо

$$x^2+7x-30 < 0$$

За теоремою Вієта знайдемо корені квадратного рівняння $$x^2+7x-30=0$$: $$x_1=-10$$, $$x_2=3$$

Тоді нерівність перепишемо у вигляді

$$(x+10)(x-3) < 0$$

Розв’язуючи її методом інтервалів, отримаємо $$x\in (-10; 3)$$

З урахуванням ОДЗ і додаткової умови отримаємо $$x\in [2,5; 3)$$

Відповідь: $$x\in [2,5; 3)$$.