Завдання. Розв’язати задачу з планіметрії

Задача

Медіана прямокутного трикутника, яка проведена до гіпотенузи, розбиває цей трикутник на два трикутники з периметрами 16 см та 18 см. Знайти гіпотенузу трикутника.

Рішення

Медіана, яка проведена до сторони трикутника, ділить цю сторону навпіл. При розв’язанні задачі скористаємося тим, що медіана прямокутного трикутника, яка проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Нехай катети прямокутного трикутника дорівнюють $$a$$ см і $$b$$ см, а гіпотенуза дорівнює $$c$$ см. Так у нас вийшло відповідно два трикутники зі сторонами $$a,\frac{c}{2},\frac{c}{2}$$ та $$b,\frac{c}{2},\frac{c}{2}$$.

Через те, що периметри трикутників дорівнюють 16 см і 18 см, то отримаємо рівняння

$$a+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}=16$$ та $$b+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}=18$$.

З першого рівняння виразимо $$a$$, а з другого – виразимо $$b$$

$$a=16-c,\;b=18-c$$.

Скористаємося теоремою Піфагора

$$c^2=a^2+b^2$$

Підставимо в це співвідношення значення для катетів

$$c^2=(16-c)^2+(18-c)^2$$

Розкриємо дужки, використовуючи формулу квадрата різниці, і приведемо подібні доданки. Після таких перетворень отримаємо квадратне рівняння відносно $$c$$

$$c^2-68c+580=0$$

За теоремою Вієта $$c_1=58$$ (сторонній корінь, т. к. не задовольняє умові задачі) і $$c_2=10$$.

Відповідь: 10 см.