1 варіант

Пропонуємо ознайомитися з рішенням 1 варіанта підсумкової контрольної роботи з геометрії за 7 клас.

Частина 1

Завдання 1

Укажіть, у якому випадку точки $$A, B$$ та $$C$$ лежать на одній прямій.

А. $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=9$$ см.

Б. $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=7$$ см.

В. $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=5$$ см.

Г. $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=6$$ см.

Рішення

Точки лежать на одній прямій, коли виконується одна з умов (залежно від розташування точок $$A, B$$ та $$C$$):

1) Точка $$B$$ лежить між $$A$$ та $$C:$$ $$AB+BC=AC$$

2) Точка $$A$$ лежить між $$B$$ та $$C:$$ $$BA+AC=BC$$

3) Точка $$C$$ лежить між $$A$$ та $$B:$$ $$AC+CB=AB$$

У нашому випадку виконується 2-га умова при $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=5$$ см

$$3+5=8.$$

Відповідь: В.

Завдання 2

На якому з рисунків прямі $$a$$ та $$b$$ паралельні?

Рішення

$$a\parallel b$$ у випадку А. Покажемо це:

$$\angle1=60^{\circ}$$ як вертикальні. $$\angle1$$ та $$120^{\circ}$$ – внутрішні односторонні. Оскільки їхня сума дорівнює $$60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ},$$ то $$a\parallel b.$$

Відповідь: А.

Завдання 3

Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 8 см, а периметр – 18 см. Чому дорівнює довжина його бічної сторони?

А. 10 см

Б. 5 см

В. 2 см

Г. 1 см

Рішення

Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює $$P=a+2b,$$ де $$a$$ – довжина основи, $$b$$ – довжина бічної сторони. Підставимо відомі величини та знайдемо довжину бічної сторони:

$$8+2b=18\Rightarrow 2b=10\Rightarrow b=5$$ (см)

Відповідь: Б.

Завдання 4

У трикутнику $$ABC$$ відомо, що $$\angle A > \angle B > \angle C.$$ Укажіть правильну нерівність.

А. $$AB > BC > AC$$

Б. $$BC > AB > AC$$

В. $$AB > AC > BC$$

Г. $$BC > AC > AB$$

Рішення

У трикутнику більшому куту відповідає більша сторона (навпроти більшого кута лежить більша сторона). Тоді більша сторона в даному трикутнику це сторона $$BC,$$ а менша – сторона $$AB.$$

$$BC > AC > AB$$

Відповідь: Г.

Частина 2

Завдання 5

Один із суміжних кутів на $$14^{\circ}$$ більший за другий. Яка градусна міра меншого з цих кутів?

Рішення

Нехай градусна міра меншого із суміжних кутів дорівнює $$x,$$ тоді градусна міра більшого дорівнює $$x+14^{\circ}.$$ Сума суміжних кутів має дорівнювати $$180^{\circ}.$$

$$x+x+14^{\circ}=180^{\circ}\Rightarrow 2x=166^{\circ}\Rightarrow x=83^{\circ}$$

Відповідь: $$83^{\circ}.$$

Завдання 6

Чому дорівнює градусна міра кута $$C,$$ зображеного на рисунку?

Рішення

$$\angle BDC=28^{\circ}+10^{\circ}=38^{\circ}$$ як зовнішній кут трикутника $$AED.$$

Розглянемо трикутник $$BCD:$$

$$\angle C=180^{\circ}-72^{\circ}-38^{\circ}=70^{\circ},$$ оскільки сума кутів трикутника дорівнює $$180^{\circ}.$$

Відповідь: $$70^{\circ}.$$

Частина 3

Завдання 7

Доведіть, що в рівнобедреному трикутнику медіани, проведені до бічних сторін, рівні.

Доказ

$$ABC$$ – рівнобедрений трикутник: $$AC$$ – основа, $$AB=BC$$ – бічні сторони, $$AK$$ та $$CM$$ – відповідно медіани до сторін $$BC$$ та $$AB.$$

За визначенням медіани точки $$K$$ та $$M$$ – відповідно середини сторін $$BC$$ та $$AB.$$ Оскільки бічні сторони рівні, то $$AM=MB=BK=CK.$$

У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, тобто $$\angle BAC=\angle BCA.$$

$$\triangle AMC = \triangle AKC$$ (за двома сторонами та кутом між ними: $$AM=CK,$$ $$AC$$ – спільна, $$\angle MAC=\angle KCA$$).

Отже, $$AK=CM.$$

що й потрібно було довести

Завдання 8

Довести рівність кутів $$KDM$$ та $$KEM,$$ зображених на рисунку, якщо $$DP=PE$$ та $$DK=KE.$$

Доказ

$$\triangle KDP=\triangle KEP$$ (за трьома сторонами: $$DP=PE,$$ $$DK=KE$$ та $$PK$$ – спільна).

Тоді $$\angle DKP=\angle EKP.$$

$$\triangle KDM=\triangle KEM$$ (за двома сторонами та кутом між ними: $$DK=KE,$$ $$MK$$ – спільна, $$\angle DKM=\angle EKM$$).

Тоді $$\angle KDM=\angle KEM.$$

що й потрібно було довести