Атестаційна робота складається з чотирьох частин. Ці частини відрізняються формою тестових завдань і рівнем складності.

Учні загальноосвітніх класів виконують усі завдання першої, другої та третьої частин атестаційної роботи.

Учні класів з поглибленим вивченням математики виконують завдання всіх чотирьох частин атестаційної роботи.

Державна підсумкова атестація (ДПА) з математики проводиться впродовж 3 академічних годин для учнів загальноосвітніх класів та 4 академічних годин для учнів класів з поглибленим вивченням математики.

Частина перша

У кожному з 12 завдань першої частини по чотири варіанти відповідей, з яких тільки ОДНА відповідь ПРАВИЛЬНА.

Позначте правильні, на Ваш погляд, відповіді та натисніть Завершити тест. Після цього натисніть кнопку Показати питання, щоб ознайомитися з рішенням для тих завдань, де Ви припустилися помилки. Успіхів в проходженні тесту.

Частина друга

Друга частина атестаційної роботи складається з чотирьох завдань відкритої форми з короткою відповіддю.

Завдання 2.1

Обчисліть $$3\sqrt{1\frac{4}{9}}\cdot\sqrt{1\frac{3}{13}}-\sqrt{(-4)^6}.$$

Рішення

Скористаємося властивостями коренів і ступенів

$$3\sqrt{1\frac{4}{9}}\cdot\sqrt{1\frac{3}{13}}-\sqrt{(-4)^6}=3\sqrt{\frac{13}{9}\cdot\frac{16}{13}}-\sqrt{4^6}=\frac{3\sqrt{16}}{\sqrt{9}}-4^3=4-4^3=$$

$$=4(1-16)=-60$$

Відповідь: $$-60.$$

Завдання 2.2

Графіком квадратичної функції є парабола, що має вершину у початку координат і проходить через точку А(2; -8). Задайте цю функцію формулою.

Рішення

Оскільки парабола проходить через початок координат, то її рівняння може бути задано у вигляді $$y=ax^2$$

Підставимо в рівняння координати точки А

$$-8=a\cdot2^2\Rightarrow a=-2$$

Отримали рівняння шуканої функції: $$y=-2x^2$$

Відповідь: $$y=-2x^2$$

Завдання 2.3

Розв’яжіть систему рівнянь

$$\left\{\begin{matrix} x^2-2xy+y^2=9\\ 2x-y= 5\end{matrix}\right.$$

Рішення

Ліву частину першого рівняння згорнемо за формулою квадрат різниці

У другому рівнянні виразимо $$y$$

$$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2 = 9\\ y = 2x- 5 \end{matrix}\right.$$

Підставимо $$y$$ з другого рівняння в перше

$$(x-2x+5)^2=9$$

$$(5-x)^2=9$$

$$25+x^2-10x=9$$

$$x^2-10x+16=0$$

За теоремою Вієта маємо

$$x_1=2,\;x_2=8$$

1) $$x_1=2\Rightarrow y_1=-1$$

2) $$x_2=8\Rightarrow y_2=11$$

Відповідь: $$x_1=2,\;y_1=-1;\;x_2=8,\;y_2=11.$$

Завдання 2.4

Зовнішній кут правильного багатокутника становить $$\frac{1}{5}$$ внутрішнього. Знайдіть кількість сторін цього багатокутника.

Рішення

Нехай $$\alpha$$ – внутрішній кут, а $$\beta$$ – зовнішній. $$\beta=\pi-\alpha$$

За умовою $$\beta=\frac{1}{5}\alpha$$

$$\frac{1}{5}\alpha=\pi-\alpha\Rightarrow \alpha=\frac{5\pi}{6}$$

Сума внутрішніх кутів правильного багатокутника дорівнює $$n\cdot\alpha$$, де $$n$$ – кількість сторін. Сума внутрішніх кутів плоского опуклого $$n$$-кутника дорівнює $$(n-2)\pi.$$

$$(n-2)\pi=n\cdot\frac{5\pi}{6}$$

$$n-2=\frac{5}{6}n$$

$$\frac{1}{6}n=2$$

$$n=12$$

Відповідь: 12

Частина третя

Третя частина атестаційної роботи складається з трьох завдань відкритої форми з розгорнутою відповіддю. Розв’язання завдань 3.1 – 3.3 має містити пояснення. У ньому необхідно записати послідовні логічні дії та пояснення, послатися на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. За необхідності розв’язки ілюструються схемами, графіками, таблицями.

Завдання 3.1

Автомобіль мав проїхати 1200 км із певною запланованою швидкістю. Після того, як він проїхав третину шляху із цією швидкістю, автомобіль витратив на зупинку 2 год. Збільшивши швидкість на 20 км/год, автомобіль прибув у пункт призначення вчасно. Якою була швидкість автомобіля до зупинки?

Рішення

$$S=1200$$ км

За умовою задачі автомобіль проїхав третину шляху, зробив зупинку на 2 години і продовжив шлях зі збільшеною швидкістю.

$$S_1=\frac{S}{3}=400,\;S_2=S-S_1=800,\;v_1=v,\;v_2=v+20,\;v>0$$

Знайдемо час, за який автомобіль проїхав першу і другу частину шляху

$$S_1=v_1\cdot t_1\Rightarrow 400=v\cdot t_1\Rightarrow t_1=\frac{400}{v}$$

$$S_2=v_2\cdot t_2\Rightarrow 800=(v+20)\cdot t_2\Rightarrow t_2=\frac{800}{v+20}$$

Знайдемо загальний час

$$t=t_1+2+t_2=\frac{400}{v}+2+\frac{800}{v+20}$$

Підставимо загальний час у формулу для знаходження відстані

$$S=v\cdot t$$

$$v\cdot\left ( \frac{400}{v}+2+\frac{800}{v+20} \right )=1200$$

Спростимо отримане рівняння

$$400+2v+\frac{800v}{v+20}=1200$$

$$2v+\frac{800v}{v+20}=800$$

$$v+\frac{400v}{v+20}=400$$

$$v\cdot(v+20)+400v=400(v+20)$$

$$v^2+20v+400v=400v+8000$$

Отримали квадратне рівняння щодо початкової швидкості

$$v^2+20v-8000=0$$

Знайдемо корені за теоремою Вієта:

$$v=-100$$ (сторонній корінь) та $$v=80$$

Відповідь: 80 км/час

Завдання 3.2

Доведіть, що значення виразу
$$\left ( \frac{3-a}{a^2-2a+1} -\frac{2}{1-a}\right )\left ( \frac{a^2-3a}{a^3+3a^2+3a+1} +\frac{1}{a^2+2a+1}\right )$$
є додатним при всіх допустимих значеннях змінної.

Доказ

Спростимо початковий вираз.

Скористаємося формулами скороченого множення: квадрат різниці, куб суми і квадрат суми

$$\left ( \frac{3-a}{(a-1)^2} -\frac{2}{1-a}\right )\left ( \frac{a^2-3a}{(a+1)^3} +\frac{1}{(a+1)^2}\right )=$$

Приведемо дроби до спільного знаменника

$$=\frac{3-a+2(a-1)}{(a-1)^2}\cdot \frac{a^2-3a+a+1}{(a+1)^3}=$$

$$a \not= \pm1$$

Розкриємо дужки та приведемо подібні доданки

$$=\frac{a+1}{(a-1)^2}\cdot \frac{a^2-2a+1}{(a+1)^3}=$$

Знову скористаємося формулою квадрат різниці і після цього скоротимо дроби

$$=\frac{a+1}{(a-1)^2}\cdot \frac{(a-1)^2}{(a+1)^3}=\frac{1}{(a+1)^2}$$

Отримали $$\frac{1}{(a+1)^2}>0,\;a \not= \pm1$$

що й треба було довести

Завдання 3.3

Бісектриса гострого кута паралелограма ділить його сторону у відношенні 3:4, рахуючи від вершин тупого кута. Периметр паралелограма дорівнює 80 см. Знайдіть довжини його сторін.

Рішення

$$\frac{BE}{EC}=\frac{3}{4}\Rightarrow BE=3x,\;EC=4x,\;x$$ – коефіцієнт пропорційності.

Тоді $$BC=3x+4x=7x.$$

$$\angle BAE=\angle EAD$$, бо $$AE$$ – бісектриса, $$\angle BEA=\angle EAD$$ як внутрішні навхрест лежачі при паралельних прямих $$AD,$$ $$BC$$ і січної $$AE.$$ Значить трикутник $$ABE$$ є рівнобедреним, тобто $$AB=BE=3x.$$

Знайдемо суму двох сторін із периметра паралелограма

$$P=2(AB+BC)=80\Rightarrow AB+BC=40$$

Отримали $$AB+BC=3x+7x=10x\Rightarrow 10x=40\Rightarrow x=4$$

$$AB=12,\;BC=28$$

Відповідь: 12 см; 28 см; 12 см; 28 см.

Частина четверта

Четверта частина атестаційної роботи складається з двох завдань відкритої форми з розгорнутою відповіддю. Розв’язання завдань 4.1 – 4.2 має містити пояснення. У ньому необхідно записати послідовні логічні дії та пояснення, послатися на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. За необхідності розв’язки ілюструються схемами, графіками, таблицями.

Завдання 4.1

При яких значеннях параметра $$a$$ рівняння $$\left |x^2-4|x|+3 \right |=a$$ має шість розв’язків?

Рішення

Розглянемо дві функції $$y=\left |x^2-4|x|+3 \right |$$ та $$y=a.$$ Перетин графіків даних функцій у шести точках і буде розв’язанням завдання.

Побудуємо графік першої функції $$y=\left |x^2-4|x|+3 \right |.$$

Для цього спочатку побудуємо графік функції $$y=x^2-4x+3$$ при $$x\geqslant 0.$$ Це парабола $$y=(x-2)^2-1$$ з вершиною в точці $$(2;-1),$$ гілки якої спрямовані вгору.

Оскільки функція $$y=x^2-4|x|+3$$ є парною функцією, то відобразимо графік функції $$y=x^2-4x+3$$ при $$x\geqslant 0$$ відносно осі $$Oy$$ (осі ординат).

Для побудови графіка функції $$y=\left |x^2-4|x|+3 \right |$$ необхідно відобразити відносно осі $$Ox$$ ту частину графіка функції $$y=x^2-4|x|+3,$$ яка нижча за вісь абсцис.

$$y=a$$ – пряма, паралельна осі абсцис.

При $$a=1$$ рівняння $$\left |x^2-4|x|+3 \right |=a$$ має шість рішень.

Відповідь: $$a=1.$$

Завдання 4.2

Знайдіть площу трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють 1 см і $$\sqrt{15}$$ см, а медіана, яка проведена до третьої сторони, дорівнює 2 см.

Рішення

Введемо позначення: $$a,\;b,\;c$$ – сторони трикутника, $$m_c$$ – медіана до сторони $$c.$$ Тоді $$a=1,\;b=\sqrt{15},\;m_c=2.$$

Згадаймо співвідношення в довільному трикутнику для медіани

$$m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}$$

Знайдемо $$c$$

$$4m_c^2=2a^2+2b^2-c^2\Rightarrow c^2=2a^2+2b^2-4m_c^2$$

$$c=\sqrt{2a^2+2b^2-4m_c^2}=\sqrt{2\cdot1+2\cdot15-4\cdot4}=\sqrt{16}=4$$

Отримали співвідношення $$c^2=a^2+b^2,$$ тобто трикутник прямокутний ($$\angle C=90^{\circ}$$).

Згадаймо формулу площі для прямокутного трикутника

$$S=\frac{1}{2}ab$$

Підставимо значення сторін і знайдемо площу

$$S=\frac{\sqrt{15}}{2}$$

Відповідь: $$\frac{\sqrt{15}}{2}$$ см2