Завдання. Знайти значення різниці арктангенсів

Завдання

Знайти значення виразу

$$\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})-\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Рішення

Позначимо значення виразу через $$x$$

$$\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})-\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}=x,\;x\in\left ( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right )$$

Візьмемо тангенс від лівої та правої частин рівності

$$\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2}) -\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )=\textup{tg}\,x$$

Скористаємося формулою тангенса різниці кутів

$$\frac{\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})\right )-\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )}{1+\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})\right )\cdot \textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )}=\textup{tg}\,x$$

Спростимо чисельник і знаменник дробу, використовуючи властивість арктангенса

$$\frac{3+2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+(3+2\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\textup{tg}\,x$$

$$\frac{\left (6+4\sqrt{2}-\sqrt{2} \right )\cdot2}{2\cdot(2+3\sqrt{2}+4)}=\textup{tg}\,x$$

$$\frac{6+3\sqrt{2}}{6+3\sqrt{2}}=\textup{tg}\,x$$

$$\textup{tg}\,x=1$$

Рішенням отриманого найпростішого тригонометричного рівняння буде

$$x=\frac{\pi}{4}$$

Відповідь: $$\frac{\pi}{4}$$.