Третя частина атестаційної роботи складається з трьох завдань відкритої форми з розгорнутою відповіддю. Розв’язання завдань 3.1 – 3.3 має містити пояснення. У ньому необхідно записати послідовні логічні дії та пояснення, послатися на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. За необхідності розв’язки ілюструються схемами, графіками, таблицями.

Завдання 3.1

Катер проплив 22 км за течією річки і 36 км проти течії за час, необхідний для того, щоб проплисти 6 км на плоту. Знайти швидкість течії, якщо власна швидкість катера дорівнює 20 км/год.

Рішення

Нехай швидкість течії річки дорівнює $$x$$ км/год. Систематизуємо дані завдання у вигляді таблиці.

Рух$$s$$, км$$v$$, км/год$$t$$, год
За течією$$22$$$$20+x$$$$\frac{22}{20+x}$$
Проти течії$$36$$$$20-x$$$$\frac{36}{20-x}$$

Враховуючи той факт, що на плоту можна проплисти 6 км за $$\frac{6}{x}$$ годин, складемо рівняння:

$$\frac{22}{20+x}+\frac{36}{20-x}=\frac{6}{x},\;0<x<20$$

Приведемо до спільного знаменника

$$\frac{22x(20-x)+36x(20+x)-6(20+x)(20-x)}{x(20+x)(20-x)}=0$$

Розглянемо окремо чисельник. Розкриємо дужки та наведемо подібні доданки

$$20x^2+1160x-2400=0$$

$$x^2+58x-120=0$$

За теоремою Вієта

$$x_1=-60$$ (сторонній корінь), $$x_2=2$$.

Отже, швидкість течії річки дорівнює 2 км/год..

Відповідь: 2 км/час.

Завдання 3.2

Скласти квадратне рівняння, корені якого на три більші за відповідні корені рівняння $$x^2-2x-7=0.$$

Рішення

Оскільки обидва корені нового квадратного рівняння мають бути на три більшими за корені вихідного квадратного рівняння, то $$y=x+3$$. Підставимо $$x=y-3$$ у вихідне рівняння

$$(y-3)^2-2(y-3)-7=0$$

Застосуємо формулу квадрата різниці, розкриємо дужки та приведемо подібні

$$y^2+9-6y-2y+6-7=0\Rightarrow y^2-8y+8=0$$

Відповідь: $$y^2-8y+8=0$$

Завдання 3.3

Сторони трикутника дорівнюють 3 см і 5 см, а кут між ними $$120^{\circ}$$. Знайти площу подібного до нього трикутника, периметр якого дорівнює 30 см.

Рішення

Нехай $$ABC$$ – вихідний трикутник, $$DEF$$ – подібний до нього трикутник. $$AB=3$$ см, $$BC=5$$ см, $$\angle B=120^{\circ}$$.

Знайдемо третю сторону трикутника $$ABC$$ за теоремою косинусів

$$AC^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\cos120^{\circ}=9+25-30\cdot\left (-\frac{1}{2} \right )=49\Rightarrow AC=7$$ см.

Під час знаходження косинуса 120 градусів скористалися таблицею значень тригонометричних функцій деяких кутів.

Знайдемо периметр трикутника $$ABC$$

$$P_{ABC}=3+5+7=15$$ см

Оскільки периметр подібного трикутника дорівнює 30 см, то коефіцієнт подібності дорівнює

$$k=\frac{P_{DEF}}{P_{ABC}}=\frac{30}{15}=2$$.

Знайдемо площу трикутника $$ABC$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\angle B\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$$ см2.

$$\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=k^2=4$$

Тоді $$S_{DEF}=4\cdot S_{ABC}=15\sqrt{3}$$ см2.

Відповідь: $$15\sqrt{3}$$ см2.

Джерело: Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 9 кл. / О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко. — 2-ге вид., доопрац. — К.: Центр навч.-метоод. л-ри, 2012. — 112 с.: іл. ISBN 978-617-626-110-0.