Завдання на доказ та арифметичні прогресії

Завдання

Доведіть, що якщо позитивні числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ утворюють арифметичну прогресію, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ також утворюють арифметичну прогресію.

Доказ

  1. $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}-\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}$$
  2. $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b}-\sqrt{a}}{(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}$$
  3. Якщо різниця 1 і 2 дорівнює нулю, то доведено
    $$\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}-\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}=\frac{b-a-c-b}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}=\frac{2b-a-c}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}$$
  4. Так як $$a$$, $$b$$, $$c$$ – арифметична прогресія, то $$2b=a+c$$.
    Підставимо в 3 і отримаємо:
    $$\frac{a+c-a-c}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}=0$$

Довели, що числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ утворюють арифметичну прогресію.