Завдання. З’ясувати скільки різних розв’язків має система рівнянь залежно від параметра

Завдання

Скільки різних розв’язків залежно від параметра $$a$$ має система рівнянь

$$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?

Рішення

ОДЗ: $$x\neq 0$$

$$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a \\ y=\frac{a}{x}+1 \end{matrix}\right.$$

Ліві частини рівні, прирівняємо праві частини

$$x^2+a=\frac{a}{x}+1$$

$$x^2-\frac{a}{x}+a-1=0$$

$$x^3+(a-1)x-a=0$$

Очевидно, що коренем даного рівняння є $$x=1$$

$$1^3+(a-1)\cdot1-a=0$$

$$0=0$$ – вірно

Скориставшись схемою Горнера отримаємо:

$$(x-1)(x^2+x+a)=0$$

Розв’яжемо $$x^2+x+a=0$$

$$D=1-4a$$

При $$D=0$$, тобто при $$a=\frac{1}{4}$$ – два збіжні дійсні корені, $$x=-\frac{1}{2}$$

І система має 2 розв’язки: $$x=1$$ та $$x=-\frac{1}{2}$$

При $$D \gt 0$$, тобто при $$0 \neq a \lt \frac{1}{4}$$ – два різні дійсні корені $$x=-\frac{1}{2} \pm\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$

І система має три розв’язки: $$x=1$$, $$x=-\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$ та $$x=-\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$

При $$D < 0$$, тобто при $$a > \frac{1}{4}$$ рівняння не має дійсних коренів і система має один розв’язок $$x=1$$

При $$a=0$$ система має два розв’язки $$x=1$$ та $$x=-1$$

Отже, система має

  1. один розв’язок при $$a\in(\frac{1}{4};\infty)$$
  2. два розв’язки при $$a=0$$ та $$a=\frac{1}{4}$$
  3. три розв’язки при $$a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac{1}{4})$$