Тригонометричні функції подвійного, половинного та потрійного аргументів

Подвійний аргумент

Синус подвійного кута

$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2\text{tg}\alpha}{1+\text{tg}^2\alpha}$$

Косинус подвійного кута

$$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=\frac{1-\text{tg}^2\alpha}{1+\text{tg}^2\alpha}$$

Тангенс подвійного кута

$$\text{tg} 2\alpha=\frac{2\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}^2\alpha}=\frac{2}{\text{ctg}\alpha-\text{tg}\alpha}$$

Котангенс подвійного кута

$$\text{сtg} 2\alpha=\frac{\text{сtg}^2\alpha-1}{2\text{сtg}\alpha}$$

Половинний аргумент

Модуль синуса половинного кута

$$\left |\sin\frac{\alpha}{2} \right |=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$

Модуль косинуса половинного кута

$$\left |\cos\frac{\alpha}{2} \right |=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$$

Модуль тангенса половинного кута

$$\left |\text{tg}\frac{\alpha}{2} \right |=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$$

Модуль котангенса половинного кута

$$\left |\text{ctg}\frac{\alpha}{2} \right |=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$$

Тангенс половинного кута

$$\text{tg}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$$

Котангенс половинного кута

$$\text{ctg}\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$$

Потрійний аргумент

Синус потрійного кута

$$\sin3\alpha=\sin\alpha(3-4\sin^2\alpha)$$

Косинус потрійного кута

$$\cos3\alpha=\cos\alpha(4\cos^2\alpha-3)$$

Тангенс потрійного кута

$$\text{tg}3\alpha=\frac{3\text{tg}\alpha-\text{tg}^3\alpha}{1-3\text{tg}^2\alpha}$$

Котангенс потрійного кута

$$\text{ctg}3\alpha=\frac{\text{ctg}^3\alpha-3\text{ctg}\alpha}{3\text{ctg}^2\alpha-1}$$