Позбавлення від ірраціональності

Заміна дробового виразу, у якого чисельник чи знаменник (або обидва) ірраціональні, тотожно рівним йому виразом з раціональним чисельником (знаменником) називається виключенням ірраціональності з чисельника (знаменника) дробового виразу.

При виключенні ірраціональності з чисельника (знаменника) дробу чисельник і знаменник цього дробу помножають на множник, що спряжений з чисельником (знаменником)

Спряженим множником щодо ірраціонального виразу $$A$$ називають всякий вираз, що тотожно не дорівнює нулю $$B,$$ який в добутку з $$A$$ не містить знака кореня, тобто $$A\cdot B$$ раціонально.

Основні випадки виключення ірраціональності зі знаменника (виключення з чисельника виконується аналогічним чином)

Користуючись властивостями коренів і ступенів, а також формулами скороченого множення, можна позбавитися від ірраціональності в знаменнику (чисельнику) дробу.

Дроби виду $$\frac{A}{\sqrt[n]{a^k}},$$ де $$n>k,$$ $$a>0,$$ $$A$$ — деякий вираз.

В якості спряженого зі знаменником множника можна взяти $$\sqrt[n]{a^{n-k}},$$ бо $$\sqrt[n]{a^k}\cdot\sqrt[n]{a^{n-k}}=a$$

Домножив чисельник і знаменник цього дробу на $$\sqrt[n]{a^{n-k}},$$ отримаємо

$$\frac{A}{\sqrt[n]{a^k}}=\frac{A\sqrt[n]{a^{n-k}}}{\sqrt[n]{a^k}\cdot\sqrt[n]{a^{n-k}}}=\frac{A\sqrt[n]{a^{n-k}}}{a}, a>0$$

Дроби виду $$\frac{A}{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}}.$$

Вирази $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ та $$\sqrt{a}-\sqrt{b}$$ взаємно спряжені завдяки формулі різниці квадратів, тобто

$$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b,$$ тому

$$\frac{A}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{A\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{A\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$$ при $$a\geqslant0,b\geqslant0,a\neq b;$$

$$\frac{A}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{A\sqrt{a}}{2a}=\frac{A\sqrt{b}}{2b},$$ якщо $$a>0,a=b;$$

$$\frac{A}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{A\cdot(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{A\cdot(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}$$ при $$a\geqslant0,b\geqslant0,a\neq b;$$

Дроби виду $$\frac{A}{\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b}}$$ та $$\frac{A}{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}.$$

Користуючись формулами різниці (суми) кубів, позбавляються від ірраціональності, тобто

$$(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a-b$$

та

$$(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a+b,$$

бо вираз

$$\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$$ та $$\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2},$$

а також

$$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$$ та $$\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$$

взаємно спряжені.