Завдання. Знайти найменше значення площі перерізу куба зі стороною, що проходить через його діагональ

Задача

Знайдіть найменше значення площі перерізу куба зі стороною 1, що проходить через його діагональ.

Рішення

$$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ – куб зі стороною, що дорівнює 1. $$AC_1$$ – діагональ куба.

Площина перерізу фіксується діагоналлю $$AC_1$$ і ще якою-небудь точкою. Нехай це буде точка $$K\in BB_1$$, яка “бігає” по ребру $$BB_1$$. Таким чином переріз є паралелограмом $$AKC_1L$$.

YouTube відео

Площу паралелограма можна знайти різними способами, скористаємося формулою $$S_{AKC_1L}=AK\cdot KC_1\cdot \sin \angle K$$.

Нехай $$B_1K=x$$, тоді $$0\leqslant x\leqslant 1$$ (ребро дорівнює 1)

За теоремою Піфагора з трикутника $$\triangle ABK$$: $$AK=\sqrt{1+(1-x)^2}$$

За теоремою Піфагора з трикутника $$\triangle KB_1C_1$$: $$KC_1=\sqrt{1+x^2}$$

Розглянемо трикутник $$\triangle AKC_1$$. За теоремою косинусів $$C_1A^2=AK^2+C_1K^2-2\cdot AK\cdot C_1K \cos\angle K$$. З трикутника $$\triangle ABC$$: $$AC=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$, з трикутника $$\triangle ACC_1$$: $$AC_1=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$$.

Тоді $$\cos\angle K=\frac{(1+x^2)+(1+(1-x)^2)-3}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}=$$

$$=\frac{1+x^2+1+1+x^2-2x-3}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}=\frac{2(x^2-x)}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}=$$

$$=\frac{x^2-x}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}$$

З основної тригонометричної тотожності знайдемо синус

$$\sin\angle K=\sqrt{1-\cos^2\angle K}=\sqrt{1-\frac{x^2-x}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}}=$$

$$=\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+1+x^2-2x)-(x^2-x)^2}{(1+x^2)(1+(1-x)^2)}}=$$

$$=\sqrt{\frac{2+x^2-2x+2x^2+x^4-2x^3-x^4-x^2+2x^3}{(1+x^2)(1+(1-x)^2)}}=$$

$$=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}$$

Тоді площа перерізу $$S=\frac{\sqrt{1+x^2}\cdot\sqrt{1+(1-x)^2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{1+x^2}\cdot\sqrt{1+(1-x)^2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}$$

$$S(x)=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}$$

Знайдемо похідну $$S^{\prime}(x)=\sqrt{2}\cdot\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$$

$$x^2-x+1\neq 0$$, бо $$D=1-4 < 0$$

$$S^{\prime}(x)=0$$

$$2x-1=0$$

$$x=\frac{1}{2}$$ – точка екстремуму

Підставимо у функцію екстремальне значення і значення на кінцях відрізка $$[0;1]$$

$$S(0)=\sqrt{2}$$

$$S(\frac{1}{2})=\sqrt{2}\sqrt{(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}+1}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

$$S(1)=\sqrt{2}\sqrt{1^2-1+1}=\sqrt{2}$$

Таким чином отримали мінімальне значення площі $$S=\frac{\sqrt{6}}{2}$$ при $$x=\frac{1}{2}$$ (тобто $$K$$ – середина ребра $$BB_1$$ та переріз $$AKC_1L$$ – ромб) і максимальне значення площі $$S=\sqrt{2}$$ при $$x=0$$ (прямокутний переріз $$AB_1C_1D$$) та при $$x=1$$ (прямокутний переріз $$ABC_1D_1$$).

Відповідь: $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$