Четверта частина атестаційної роботи призначена для учнів класів з поглибленим вивченням математики та складається з двох завдань відкритої форми з розгорнутою відповіддю. Розв’язання завдань 4.1 – 4.2 має містити пояснення. У ньому необхідно записати послідовні логічні дії та пояснення, послатися на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. За необхідності розв’язки ілюструються схемами, графіками, таблицями.

Завдання 4.1

Довести, що вираз $$\sqrt{11-2\sqrt{28}}-\sqrt{11+2\sqrt{28}}$$ є цілим числом.

Доказ

Розглянемо перший корінь. Спочатку перетворимо підкореневий вираз, застосувавши формулу квадрат різниці

$$11-2\sqrt{28}=11-2\cdot2\sqrt{7}=4+7-2\cdot2\sqrt{7}=2^2+(\sqrt{7})^2-2\cdot2\cdot\sqrt{7}=(2-\sqrt{7})^2$$

Тоді

$$\sqrt{11-2\sqrt{28}}=\sqrt{(2-\sqrt{7})^2}=|2-\sqrt{7}|=$$

Скористаємося визначенням модуля

$$=\sqrt{7}-2$$

Аналогічно для другого кореня отримаємо

$$\sqrt{11+2\sqrt{28}}=\sqrt{(2+\sqrt{7})^2}=|2+\sqrt{7}|=2+\sqrt{7}$$

Підставимо отримані вирази в початковий

$$\sqrt{11-2\sqrt{28}}-\sqrt{11+2\sqrt{28}}=\sqrt{7}-2-\left (2+\sqrt{7} \right )=-4$$ – ціле число.

що й треба було довести

Завдання 4.2

Знайти рівняння кола, описаного біля трикутника $$ABC$$ з вершинами в точках $$A(2;9),\;B(11;0),\;C(-5;-4).$$

Рішення

Нехай точка $$O(a;b)$$ – центр кола, описаного біля трикутника $$ABC$$.

Складемо систему рівнянь, використовуючи той факт, що точка $$O$$ рівновіддалена від вершин трикутника ($$OA=OB=OC$$, дивіться знаходження довжин векторів)

$$\left\{\begin{matrix} (a-2)^2+(b-9)^2=(a-11)^2+b^2\\ (a-11)^2+b^2=(a+5)^2+(b+4)^2 \end{matrix}\right.$$

Розкриємо дужки, застосувавши формули скороченого множення і приведемо подібні доданки

$$\left\{\begin{matrix} a^2+4-4a+b^2+81-18b=a^2+121-22a+b^2\\ a^2+121-22a+b^2=a^2+25+10a+b^2+16+8b \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=2 &(1)\\ 4a+b=10&(2) \end{matrix}\right.$$

$$(1)+(2)\Rightarrow 5a=12\Rightarrow a=2.4$$

$$(2)-4(1)\Rightarrow 5b=2\Rightarrow b=0.4$$

Значить $$O(2.4;0.4)$$

$$R^2=OB^2=(2.4-11)^2+0.4^2=8.6^2+0.4^2=73.96+0.16=74.12$$

Рівняння кола, описаного біля трикутника $$ABC$$

$$(x-2.4)^2+(y-o.4)^2=74.12$$.

Відповідь: $$(x-2.4)^2+(y-o.4)^2=74.12$$.

Джерело: Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 9 кл. / О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко. — 2-ге вид., доопрац. — К.: Центр навч.-метоод. л-ри, 2012. — 112 с.: іл. ISBN 978-617-626-110-0.