Третя частина атестаційної роботи складається з трьох завдань відкритої форми з розгорнутою відповіддю. Розв’язання завдань 3.1 – 3.3 має містити пояснення. У ньому необхідно записати послідовні логічні дії та пояснення, послатися на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. За необхідності розв’язки ілюструються схемами, графіками, таблицями.
Завдання 3.1
З міста А в місто В виїхав велосипедист. Через 3 год у тому самому напрямі з міста А виїхав мотоцикліст і прибув у місто В одночасно з велосипедистом. Знайдіть швидкість велосипедиста, якщо вона менша за швидкість мотоцикліста на 45 км/год, а відстань між містами дорівнює 60 км.
Рішення
Нехай швидкість мотоцикліста $$x$$ км/год, тоді швидкість велосипедиста $$x-45$$ км/год. Відстань між містами дорівнює 60 км, тоді час у дорозі, який витратили мотоцикліст і велосипедист, дорівнює відповідно $$\frac{60}{x}$$ год та $$\frac{60}{x-45}$$ год.
З огляду на той факт, що велосипедист був у дорозі на 3 години довше, ніж мотоцикліст, складемо і розв’яжемо рівняння:
$$\frac{60}{x-45}-\frac{60}{x}=3,\;x\neq45,\;x\neq0$$
$$\frac{60x-60x+2700-3x^2+135x}{x(x-45)}=0$$
$$x^2-45x-900=0$$
За теоремою Вієта:
$$x_1=-15$$ (сторонній корінь), $$x_2=60$$.
Отже, швидкість мотоцикліста 60 км/год, значить швидкість велосипедиста 60-45=15 км/год.
Відповідь: 15 км/ч.
Завдання 3.2
Побудуйте графік функції $$y=\frac{x^2+6x+8}{x+2}-\frac{2x-x^2}{x}.$$
Рішення
Ця функція не визначена при $$x=-2,\;x=0$$.
Спростимо її, скориставшись теоремою Вієта, формулою розкладання квадратного тричлена на множники та винесенням спільного множника за дужки:
$$y=\frac{(x+4)(x+2)}{x+2}-\frac{x(2-x)}{x}=x+4-(2-x)=2x+2$$
Отримали:
$$y=2x+2,\;x\neq-2,\;x\neq0$$
Зобразимо графік цієї функції:
Завдання 3.3
Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють 10 см і 14 см, а бічні сторони – 13 см і 15 см.
Рішення
$$ABCD$$ – трапеція, $$AB=13,\;BC=10,\;CD=15,\;AD=14,\;CN$$ – висота трапеції.
Площа трапеції обчислюється за формулою: $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CN.$$
Проведемо $$CK\parallel AB$$. Отримали $$ABCK$$ – паралелограм, у якого
$$CK=AB=13,\;AK=BC=10$$.
Розглянемо трикутник $$CKD:$$
$$CK=13,\;CD=15,\;KD=AD-AK=14-10=4$$, $$CN$$ – висота трикутника.
З одного боку площа трикутника дорівнює
$$S=\frac{1}{2}KD\cdot CN\Rightarrow CN=\frac{2S}{KD}$$.
З іншого боку за формулою Герона площа дорівнює
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\; p=\frac{a+b+c}{2}$$.
$$p=\frac{13+15+4}{2}=16\Rightarrow S=\sqrt{16(16-13)(16-15)(16-4)}=\sqrt{16\cdot3\cdot1\cdot12}=$$
$$=\sqrt{4^2\cdot3^2\cdot2^2}=4\cdot3\cdot2=24$$
Тоді $$CN=\frac{2\cdot24}{4}=12$$
$$S_{ABCD}=\frac{10+14}{2}\cdot12=12^2=144$$
Відповідь: 144 см2.