Завдання 29

Обчисліть $$(\sqrt{20})^{2+\log_{20}16}.$$

Рішення

$$(\sqrt{20})^{2+\log_{20}16}=(20)^{\frac{1}{2}\left ( 2+\log_{20}16 \right )}=(20)^{1+\log_{20}4}=20\cdot20^{\log_{20}4}=20\cdot4=80$$

Відповідь: 80.

Завдання 30

Обчисліть $$\int_{0}^{7}f(x)dx,$$ використовуючи зображений на рисунку графік лінійної функції $$y=f(x).$$

Рішення

Площа прямокутника дорівнює $$7\cdot8=56,$$ площа трикутника дорівнює $$\frac{1}{2}\cdot5\cdot7=17.5.$$ Інтеграл дорівнює площі фігури, яка виходить відніманням площі трикутника від площі прямокутника: $$\int_{0}^{7}f(x)dx=56-17.5=38.5.$$

Відповідь: 38.5

Завдання 31

За основою прямої трикутної призми $$ABCA_1B_1C_1$$ є рівнобедрений трикутник $$ABC$$, де $$AB=BC=25$$ см, $$AC=30$$ см. Через бічне ребро $$AA_1$$ призми проведено площину, перпендикулярну до ребра $$BC.$$ Визначте об’єм призми (у см3), якщо площа утвореного перерізу дорівнює 72 см2.

Рішення

$$V=S\cdot H$$ – об’єм призми, де $$S$$ – площа основи призми (площа рівнобедреного трикутника $$ABC$$), $$H$$ – висота прямої призми (збігається з ребром $$AA_1$$).

$$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h_{BC}$$ – площа трикутника $$ABC,$$ де $$h_{BC}$$ – висота трикутника до сторони $$BC.$$

$$S_1=H\cdot h_{BC}$$ – площа перерізу (площа прямокутника).

Знайдемо об’єм призми:

$$V=S\cdot H=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h_{BC}\cdot H=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot S_1=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 72=900$$

Відповідь: 900.

Завдання 32

При якому найменшому значенні $$a$$ рівняння

$$\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}+(14-2a)\cdot\sqrt[4]{x-3}+32=6a$$

має хоча б один корінь?

Рішення

ОДЗ: $$x-3\geqslant 0\Rightarrow x\geqslant 3$$

Виконаємо перетворення:

$$\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}=\sqrt{x-3+1+2\cdot\sqrt{x-3}\cdot1}=$$

$$=\sqrt{(\sqrt{x-3})^2+1^2+2\cdot\sqrt{x-3}\cdot1}=\sqrt{(\sqrt{x-3}+1)^2}=|\sqrt{x-3}+1|=$$

$$=\sqrt{x-3}+1$$

Підставимо в початкове рівняння:

$$\sqrt{x-3}+1+(14-2a)\cdot\sqrt[4]{x-3}+32=6a$$

Зробимо заміну:

$$\sqrt[4]{x-3}=t\geqslant 0$$

$$t^2+(14-2a)t+33-6a=0$$

$$t^2+2(7-a)t+33-6a=0$$

Знайдемо дискримінант для отриманого квадратного рівняння:

$$D_1=(7-a)^2-(33-6a)=49+a^2-14a-33+6a=a^2-8a+16=(a-4)^2$$

Рівняння має хоча б 1 корінь, якщо дискримінант невід’ємний. У нашому випадку дискримінант дорівнює повному квадрату, який завжди невід’ємний.

1. $$(a-4)^2= 0\Rightarrow a=4$$

$$t=a-7=4-7=-3$$ – сторонній корінь

2. $$(a-4)^2> 0\Rightarrow a\neq4$$

$$t_{1,2}=a-7\pm\sqrt{(4-a)^2}=a-7\pm |4-a|$$

$$t_{1,2}=a-7\pm 4\mp a$$ (дивіться визначення модуля)

$$t=-3$$ – сторонній корінь

$$t=2a-11\geqslant 0\Rightarrow a\geqslant 5.5$$

Найменше значення параметра $$a = 5.5.$$

Відповідь: 5.5