Одночлени (мономи) та багаточлени (многочлени, поліноми)

Означення

Одночленом (мономом) називається вираз виду $$A \cdot x^{\alpha} \cdot y^{\beta} \cdot z^{\gamma}\cdot\ldots$$,

де $$\alpha,\beta,\gamma,\ldots\in\mathbb{Z}_{+},\alpha+\beta+\gamma+\ldots$$ — ступінь одночлена.

Тобто, одночленом називається раціональний вираз, що містить щодо букв, які в нього входять, лише дві дії: множення та зведення в цілий позитивний ступінь. Одночленом також вважається будь-яка константа (кожне окреме число), причому ступінь такого одночлена дорівнює нулю.

Многочленом (багаточленом, поліномом) називається алгебраїчна сума кількох одночленів.

$$P(x)=P_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^i=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\ldots+a_{n}x^n,\;a_{n}\neq0,\;n\in\mathbb{Z}_{+}$$ – многочлен n-го ступеня, упорядкований за ступенями, що зростають.

$$P_{n}(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0},\;a_{n}\neq0,\;n\in\mathbb{Z}_{+}$$ – многочлен n-го ступеня, упорядкований за ступенями, що зменшуються.

$$x_0$$ називається коренем багаточлена $$P(x),$$ якщо $$P(x_{0})=0.$$

Якщо одночлени рівні або відрізняються лише коефіцієнтами, вони називаються подібними. Заміна суми алгебраїчних подібних членів одним, тотожно рівним цій сумі, називається приведенням подібних членів.

Ділення многочленів у стовпчик

  1. Упорядкувати багаточлени за ступенями (однакове впорядкування).
  2. Ділімо перший член діленого на перший член дільника та отримуємо перший член приватного.
  3. Множимо дільник на отриманий член приватного. Даний добуток віднімаємо від діленого та отримуємо залишок.
  4. Якщо залишок дорівнює нулю, то поділ закінчено. Якщо не дорівнює, то ділимо перший член залишку на перший член дільника та отримуємо наступний член приватного. Помножуємо на нього дільник і віднімаємо отриманий добуток від залишку.
  5. Повторюємо пункт 4 до тих пір, поки в залишку не отримаємо нуль (ділення націло) або поки перший член чергового залишку не буде ділитися на перший член дільника (ділення із залишком)

Приклад

$$\frac{-23x+6x^5-5x^3+41x^2+x^4}{2x^3+7-x+3x^2}=?$$

$$\frac{6x^5+x^4-5x^3+41x^2-23x}{2x^3+3x^2-x+7}=3x^2-4x+5+\frac{x^2+10x-35}{2x^3+3x^2-x+7}$$ – ділення із залишком.

$$\frac{x^5+6x^4+4x^3-4x^2+x-1}{x^2+x-1}=?$$

$$\frac{x^5+6x^4+4x^3-4x^2+x-1}{x^2+x-1}=x^3+5x^2+1$$ – ділення націло.

Теорема Безу

Залишок від ділення багаточлена $$P(x)$$ на двочлен $$(x-a)$$ дорівнює $$P(a).$$

Наслідки з теореми:

  1. Число $$a$$ є коренем $$P(x)$$ тоді й лише тоді, коли $$P(x)$$ ділиться націло на двочлен $$(x-a).$$
  2. Цілим корінням багаточлена з цілими коефіцієнтами можуть бути лише дільники вільного члена у багаточлені (якщо старший коефіцієнт багаточлена дорівнює одиниці, то усі раціональні корені є й цілими).

Схема Горнера

Схема Горнера (метод Горнера, правило Горнера) – алгоритм обчислення значення полінома (багаточлена) при заданому значенні невідомої (змінної). Правило Горнера дозволяє знайти корені полінома, а також обчислити похідні багаточлена у заданій точці. Метод Горнера також є простим алгоритмом для поділу багаточлена на двочлен $$(x-a).$$

Приклад

Розглянемо метод Горнера при діленні багаточлена $$P(x)=x^3-4x^2+2x+4$$ на двочлен $$x-2.$$

Рішення

Складемо таблицю, що складається із двох рядків. У перший рядок, починаючи з другого осередку, запишемо коефіцієнти полінома $$P(x)=x^3-4x^2+2x+4$$ за зменшенням ступенів невідомої. У перший осередок другого рядка впишемо $$a=2.$$

$$1$$$$-4$$$$2$$$$4$$
$$2$$

Почнемо заповнювати порожні осередки другого рядка.

У другий осередок запишемо 1 (просто переносимо його з другого осередку першого рядка).

У третій осередок запишемо $$2\cdot1-4=-2$$ (у другому рядку беремо числа з першого та другого осередків, знаходимо їх добуток і складаємо його з числом із третього осередку першого рядка), у четвертий записуємо $$2\cdot(-2)+2=-2$$ (у другому рядку беремо числа з першого та третього осередків, знаходимо їх добуток і складаємо його з числом із четвертого осередку першого рядка), аналогічно до п’ятого записуємо $$2\cdot(-2)+4=0.$$

$$1$$$$-4$$$$2$$$$4$$
$$2$$$$1$$$$-2$$$$-2$$$$0$$

Числа другого рядка (крім першого та останнього) є коефіцієнтами багаточлена, отриманого після ділення багаточлена $$P(x)=x^3-4x^2+2x+4$$  на двочлен $$x-2,$$ а останнє число другого рядка – залишком від ділення. У нашому випадку отримали: $$x^3-4x^2+2x+4=(x-2)(x^2-2x-2)+0$$ або $$x^3-4x^2+2x+4=(x-2)(x^2-2x-2)$$ – ділення націло.

Розкладання багаточленів на множники:

Якщо багаточлен може бути розкладений на множники (представлений у вигляді добутку двох або більшого числа багаточленів), то він називається розкладним на множники багаточленів, інакше – нерозкладним.

Основні способи розкладання багаточленів на множники:

  • Винесення загального множника за дужки.
  • Спосіб угруповання.
  • Застосування формул скороченого множення.