Завдання №40.25 з посібника “Математика: Комплексна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання”

Розглянемо геометричне завдання на відповідність логічних пар, взяте з посібника “Математика: Комплексна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання”, але без друкарської помилки, присутній у посібнику.

Завдання

Дві площини, що перетинаються під кутом 60°, торкаються сфери. Установити відповідність між площею сфери (1-4) і відстанню від центру сфери до лінії перетину площин (А-Д).

1$$36\pi$$ см2А$$8\sqrt{3}$$ см
2$$12\pi$$ см2Б$$6$$ см
3$$48\pi$$ см2В$$2\sqrt{3}$$ см
4$$192\pi$$ см2Г$$5\sqrt{3}$$ см
Д$$4\sqrt{3}$$ см

Рішення

Дана сфера з центром у точці $$O$$ та радіусом $$R$$. Площини $$\alpha$$ та $$\beta$$ торкаються сфери відповідно в точках $$A$$ та $$B$$ (кожна площина лише в 1 точці).

Проведемо площину через точки $$O,A,B$$. Позначимо точку отриманої площини, що належить до лінії перетину площин $$\alpha$$ і $$\beta$$ точкою $$C$$. Перейдемо до завдання на площині.

Пригадаємо визначення та властивості дотичної до окружності.

Визначення: Пряма, що має з окружністю тільки одну спільну точку, називається дотичною до окружності, а їхня спільна точка називається точкою дотику прямої та окружності.

Властивості:

1. Дотична до окружності перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання.

2. Відрізки дотичних до окружності, проведених з однієї точки, рівні та становлять однакові кути з прямою, що проходить через цю точку та центр окружності.

За умовою $$\angle ACB=60^{\circ}$$. $$AC$$ та $$BC$$ – дотичні до окружності. $$OA=OB=R$$.

З другої властивості маємо $$\angle ACO=\angle BCO=\frac{\angle ACB}{2}=30^{\circ}$$.

З першого властивості випливає, що трикутники $$\triangle OAC$$ та $$\triangle OBC$$ прямокутні $$\left ( \angle OAC=\angle OBC=90^{\circ} \right ).$$ $$OA,AC$$ та $$OB,BC$$ – катети, $$OC$$ – гіпотенуза.

Відомо, що катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута в 30°, дорівнює половині гіпотенузи, отже $$OC=2R$$.

Площа сфери обчислюється за формулою $$S=4\pi R^2$$, тоді радіус дорівнює $$R=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}$$.

Тоді $$OC=2\sqrt{\frac{S}{4\pi}}$$.

Установимо відповідність між площею сфери (1-4) і відстанню від центру сфери до лінії перетину площин (А-Д).

$$OC=2\sqrt{\frac{36\pi}{4\pi}}=6$$ (см), тобто 1-Б.

$$OC=2\sqrt{\frac{12\pi}{4\pi}}=2\sqrt{3}$$ (см), тобто 2-В.

$$OC=2\sqrt{\frac{48\pi}{4\pi}}=4\sqrt{3}$$ (см), тобто 3-Д.

$$OC=2\sqrt{\frac{192\pi}{4\pi}}=8\sqrt{3}$$ (см), тобто 4-А.