Завдання 31

Використовуючи графік рівняння $$|y|=1-|x-12|$$ (див. рисунок), знайдіть усі значення параметра $$a$$, при яких система
$$\left\{\begin{matrix} |x-12| + |y| = 1 \\ (x-a)^2 + y^2 = 4 \end{matrix}\right.$$
має єдиний розв’язок. У відповідь запишіть їх суму.

Рішення

$$(x-a)^2 + y^2 = 4$$ – рівняння окружності з центром у точці $$(a;0)$$ і радіусом, що дорівнює 2.

Розв’язком системи є точки перетину графіків функцій. Система матиме єдиний розв’язок тільки в тому випадку, коли графіки перетинаються лише в одній точці.

Зобразимо на рисунку всі такі випадки.

Параметр $$a$$ може набувати таких значень: 9; 11; 13 та 15.

9+11+13+15=48.

Відповідь: 48.

Завдання 32

Визначте кут між векторами $$\overrightarrow{a}$$ і $$\overrightarrow{b+c}$$ у градусах, якщо відомо, що $$\overrightarrow{a}(2;2)$$, $$\overrightarrow{b}(2;4)$$ і $$\overrightarrow{c}(-2;-6)$$.

Рішення

$$\overrightarrow{b+c}=\overrightarrow{(2+(-2);4+(-6))}=\overrightarrow{(0;-2)}$$

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b+c}=2\cdot0+2\cdot(-2)=-4$$

$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}, |\overrightarrow{b+c}|=\sqrt{0^2+(-2)^2}=2$$

$$\angle \widehat{(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b+c})}=arccos\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b+c}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b+c}|}=arccos\frac{-4}{2\sqrt{2}\cdot 2}=arccos (-\frac{1}{2})=$$

$$=\pi-arccos\frac{1}{2}=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}=135^{\circ}$$

Відповідь: $$135^{\circ}$$

Завдання 33

На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

Рішення

$$S_{1}=\pi R l$$ – площа бічної поверхні конуса, де $$R$$ – радіус основи, $$l$$ – твірна конуса.

$$S_{2}=\pi R^2$$ – площа кола.

$$S_{3}=S_{1}+S_{2}$$ – площа повної поверхні конуса.

$$\frac{S_{3}}{S_{1}}$$ – відношення площі повної поверхні конуса до площі його бічної поверхні.

$$R=6, l=15\Rightarrow S_{1}=6\cdot15\cdot \pi=90\pi, S_{2}=6^2\pi=36\pi,$$

$$S_{3}=90\pi+36\pi=126\pi\Rightarrow \frac{S_{3}}{S_{1}}=\frac{126\pi}{90\pi}=1.4$$

Відповідь: 1.4

Завдання 34

У правильній трикутній піраміді SABC з основою АВС бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки K і L є серединами ребер АС і ВС відповідно. Через пряму KL, паралельно до ребра , проведено площину α. Знайдіть кут ϕ між площиною α і площиною (АВС).

Рішення

В основі правильний трикутник $$ABC$$, отже $$OC=R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$, де $$O$$ – центр, $$R$$ – радіус окружності, яка описана біля трикутника, $$a$$ – сторона трикутника. За умовою ребро вдвічі більше сторони основи, тобто $$SC=2a$$.

$$\angle OMN=\angle OCS=\phi, \angle SOC=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos\phi=\frac{OC}{SC}=\frac{R}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2\cdot a\cdot 3}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\Rightarrow \phi=arccos\frac{1}{2\sqrt{3}}$$

Відповідь: $$\phi=arccos\frac{1}{2\sqrt{3}}$$.

Завдання 35

Розв’яжіть систему нерівностей $$\left\{\begin{matrix} \frac{(x+3)(x-2)}{x^2-1} \leqslant 1,\\ 4^{\sqrt{9-x^2}} \leqslant 0.25^{x-3}. \end{matrix}\right.$$

Рішення

$$\left\{\begin{matrix} \frac{(x+3)(x-2)}{(x-1)(x+1)} -1 \leqslant 0,\\ 4^{\sqrt{9-x^2}} \leqslant 4^{-x+3}. \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} \frac{(x+3)(x-2)-(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} \leqslant 0,\\ \sqrt{9-x^2} \leqslant 3-x. \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2-2x+3x-6-x^2+1}{(x-1)(x+1)} \leqslant 0,\\ \sqrt{9-x^2} \leqslant 3-x. \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x-5}{(x-1)(x+1)} \leqslant 0,\\ \sqrt{9-x^2} \leqslant 3-x. \end{matrix}\right.$$

Розглянемо першу нерівність системи

$$\frac{x-5}{(x-1)(x+1)}\leqslant 0$$

$$x\in(-\infty;-1)\cup(1; 5]$$

Розглянемо другу нерівність системи

$$\sqrt{9-x^2} \leqslant 3-x$$

Ірраціональна нерівність еквівалентна системі

$$\left\{\begin{matrix} 9-x^2 \geqslant 0\\ 3-x \geqslant 0 \\ (\sqrt{9-x^2})^2 \leqslant (3-x)^2 \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} (x-3)(x+3) \leqslant 0\\ x \leqslant 3 \\ 9-x^2 \leqslant 9+x^2-6x \end{matrix}\right.$$

Для перших двох нерівностей системи

$$x\in[-3; 3]$$

Розглянемо третю нерівність

$$2x^2-6x\geqslant 0$$

$$x(x-3)\geqslant 0$$

$$x\in(-\infty; 0]\cup[3;\infty)$$

Отже, отримали систему

$$\left\{\begin{matrix} x\in(-\infty;-1)\cup(1; 5]\\ x\in[-3; 3]\\ x\in(-\infty; 0]\cup[3;\infty) \end{matrix}\right.$$

$$x\in [-3;-1)\cup \left \{ 3 \right \}$$

Відповідь: $$x\in [-3;-1)\cup \left \{ 3 \right \}.$$

Завдання 36

Задано функцію $$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$$.

  1. Знайдіть проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції.
  2. Побудуйте ескіз графіка функції $$f(x)$$.
  3. Знайдіть кількість коренів рівняння $$f(x)=a$$, де $$a\in \mathbb{R}$$, залежно від значення параметра $$a$$.

Рішення

1. Знайдемо похідну функції $$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$$

$${f}^{\prime}(x)=12x^3-12x^2-24x$$

Знайдемо критичні точки з умови, коли похідна дорівнює нулю або не існує

$${f}^{\prime}(x)=0\Rightarrow 12x^3-12x^2-24x=0\Rightarrow 12x(x^2-x-2)=0$$

$$x=0$$ або $$x^2-x-2=0$$

$$x^2-x-2=0$$

За теоремою Вієта: $$x_{1}\cdot x_{2}=-2, x_{1}+x_{2}=1\Rightarrow x_{1}=-1, x_{2}=2$$

Тобто $$x=0, x=-1, x=2$$ – критичні точки

Відзначимо критичні точки на числовій осі, визначимо знак, якого набуває похідна на кожному з проміжків. Якщо на проміжку похідна $${f}^{\prime}(x)>0$$ (ставимо знак “+”), то функція $$f(x)$$ зростає на цьому проміжку, а якщо $${f}^{\prime}(x)<0$$ (ставимо знак “-“), то функція $$f(x)$$ спадає на цьому проміжку. Якщо критична точка належить області визначення функції, то при переході з “+” на “-” критична точка є точкою максимуму, а з “-” на “+” – мінімуму.

При $$x\in (-\infty; -1)\cup (0;2)$$ функція спадає

При $$x\in (-1;0)\cup (2; \infty)$$ функція зростає

$$x=-1\Rightarrow y=-5\Rightarrow (-1;-5)$$ – точка мінімуму

$$x=0\Rightarrow y=0\Rightarrow (0;0)$$ – точка максимуму

$$x=2\Rightarrow y=0\Rightarrow (2;-32)$$ – точка мінімуму

2. Зобразимо ескіз графіка функції $$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$$

3. Знайдемо кількість коренів рівняння $$f(x)=a$$, де $$a\in \mathbb{R}$$, залежно від параметра.

Для цього потрібно провести пряму $$y=a$$ (паралельно осі Ox). Кількість точок перетину графіка функції $$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$$ з прямою $$y=a$$ є кількістю коренів рівняння $$f(x)=a$$.

1) $$a\in(-\infty;-32)$$ – немає коренів;

2) $$a=-32$$ – 1 корінь;

3) $$a\in(-32;-5)\cup (0;\infty)$$ – 2 корня;

4) $$a=0$$ – 3 корня;

5) $$a\in (-5;0)$$ – 4 корня.