Друга частина атестаційної роботи складається з чотирьох завдань відкритої форми з короткою відповіддю.

Завдання 2.1

Розв’яжіть рівняння $$x^3+2x^2-x-2=0.$$

Рішення

Для розкладання многочлена на множники, що стоїть ліворуч, використаємо метод групування, винесення спільного множника за дужки та застосуємо формулу різниці квадратів.

$$x^3-x+2x^2-2=0$$

$$x(x^2-1)+2(x^2-1)=0$$

$$(x^2-1)(x+2)=0$$

$$(x-1)(x+1)(x+2)=0$$

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із співмножників дорівнює нулю.

$$x-1=0,\;x+1=0,\;x+2=0$$

Значить $$x=1,\; x=-1,\; x=-2$$

Відповідь: $$-2;\;-1;\;1$$.

Завдання 2.2

На прямій $$y=10-3x$$ знайдіть точку, ордината якої удвічі більша за абсцису.

Рішення

За умовою $$y=2x$$, підставимо його в рівняння прямої

$$2x=10-3x\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2\Rightarrow y=4$$

Значить $$(2;4)$$ – шукана точка.

Відповідь: $$(2;4)$$.

Завдання 2.3

Знайдіть суму перших семи членів геометричної прогресії $$(b_n)$$, якщо $$b_2=\frac{1}{2},\;b_3=\frac{1}{4}.$$

Рішення

Знайдемо знаменник геометричної прогресії, а потім перший член і суму семи перших членів, використовуючи властивості степенів.

$$q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{1}{4}:\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{1}{2}:\frac{1}{2}=1$$

$$S_7=\frac{1\left (1-\left (\frac{1}{2} \right )^7 \right )}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2\left (2^7-1 \right )}{2^7\left (2-1 \right )}=\frac{2^7-1}{2^6}=\frac{128-1}{64}=\frac{127}{64}=1\frac{63}{64}$$

Відповідь: $$1\frac{63}{64}$$.

Завдання 2.4

Дві сторони трикутника відносяться як 5:3, а кут між ними дорівнює 1200. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо його периметр дорівнює 45 см.

Рішення

$$\frac{a}{b}=\frac{5}{3}\Rightarrow a=5x,\;b=3x,\; x$$ – коефіцієнт пропорційності.

Для знаходження третьої сторони використовуємо теорему косинусів і значення косинуса 1200

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\widehat{a,b})$$

$$c^2=25x^2+9x^2-30x^2\cdot \left (-\frac{1}{2} \right )$$

$$c^2=49x^2\Rightarrow c=7x$$

За умовою периметр дорівнює 45 см, значить $$5x+3x+7x=45\Rightarrow x=3$$.

Тоді довжина третьої сторони дорівнює $$c=7\cdot3=21$$см.

Відповідь: 21 см.