Завдання 25

Петро, Микола та Василь уранці відвідали кафе і кожен із них замовив собі на сніданок бутерброд та гарячий напій. Відомо, що Василь не п’є чорного чаю, а Микола замовив собі бутерброд із шинкою.

Скориставшись таблицею, визначте, скільки грошей (у грн) буде коштувати Миколі, Василю і Петру разом найдешевше замовлення в цьому кафе.

СтравиЦіна, грн
Бутерброд із сиром7.00
Бутерброд із шинкою15.00
Бутерброд із рибою17.00
Кава з молоком13.00
Кава12.00
Чай чорний8.00
Чай зелений9.00

Рішення

Складемо найдешевше замовлення:

Вася замовив зелений чай, а Петя і Коля – по чорному чаю. Коля замовив бутерброд із шинкою, а Вася і Петя – бутерброди із сиром.

$$9+2\cdot8+15+2\cdot7=54$$

Відповідь: 54.

Завдання 26

Скільки всього різних двоцифрових чисел можна утворити з цифр 1, 5, 7 і 8 так, щоб у кожному числі всі цифри не повторювалися?

Рішення

Першу цифру можна вибрати чотирма способами, а другу – трьома. Застосувавши правило множення, отримаємо: $$4\cdot3=12$$

Відповідь: 12.

Завдання 27

Розв’яжіть систему $$\left\{\begin{matrix} y + x = 3 \\ x^2 + 4 = 8y \end{matrix}\right.$$
Якщо пара $$(x_0;y_0)$$ є єдиним розв’язком цієї системи, то запишіть у відповідь добуток $$x_0\cdot y_0.$$ Якщо пари $$(x_1;y_1)$$ та $$(x_2;y_2)$$ є розв’язками цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь найменший із добутків $$x_1\cdot y_1$$ та $$x_2\cdot y_2$$.

Рішення

$$y=3-x$$

$$x^2+4=8(3-x)$$

$$x^2+8x-20=0$$

Коріння квадратного рівняння знайдемо за теоремою Вієта:

$$x_1\cdot x_2=-20;\;x_1+x_2=-8\Rightarrow x_1=-10;\; x_2=2$$

Тоді: $$y_1=13;\; y_2=1$$

Знайдемо добутки:

$$x_1\cdot y_1=-130;\;x_2\cdot y_2=2$$

Найменшим добутком є $$x_1\cdot y_1=-130$$

Відповідь: -130.

Завдання 28

Бісектриса кута $$A$$ прямокутника $$ABCD$$ перетинає його більшу сторону $$BC$$ в точці $$M$$. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо $$BC = 24$$ см, $$AM = 10\sqrt{2}$$ см.

Рішення

$$AM$$ – бісектриса прямого кута, отже $$ABM$$ – прямокутний рівнобедрений трикутник, т.е. $$AB=BM$$.

З визначення тригонометричних функцій і таблиці значень деяких кутів:

$$AB=BM=AM\cdot\cos45^{\circ}=10\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=10$$

Опустимо перпендикуляри із середин сторін прямокутника на протилежні сторони. Вони перетнуться в точці $$O$$, яка є центром описаного кола. Знайдемо радіус даного кола (розглянемо прямокутник зі сторонами 12 см і 5 см; $$OB$$ є діагоналлю отриманого прямокутника і радіусом описаного кола; знайдемо $$OB$$ за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника, що має катети з довжинами 12 см і 5 см):

$$R=OB=\sqrt{144+25}=13$$

Відповідь: 13.